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2026-07-05T19:18:59Z

Eloy-ms: Se incluye el artículo de Colectivo canónico en el índice

<strong>Wiki de las Olimpiadas de Física — PLANCKS 2027</strong>

Espacio de preparación del equipo (en construcción). Por ahora la prioridad es el acceso directo al material de práctica. Recopilación de exámenes elaborada por Hugo.

== Conceptos y Apuntes ==

=== Física Estadística ===
Una recopilación de apuntes detallados sobre conceptos clave de la física y mecánica estadística, conectando las descripciones clásicas y cuánticas:
* '''[[Volumen de fases]]''' — Hipervolumen del espacio de fases acotado por la energía y su relación con la densidad de estados.
* '''[[Colectivo microcanónico]]''' — Formalismo para describir estadísticamente sistemas aislados en equilibrio térmico.
* '''[[Colectivo canónico]]''' — Formalismo para sistemas en contacto térmico con un baño de calor a temperatura constante.
* '''[[Conteo de estados]]''' — Procedimientos matemáticos para enumerar microestados en física clásica y cuántica.
* '''[[Función de partición]]''' — Sumatorio de los factores de Boltzmann, nexo central con la termodinámica del colectivo canónico.
* '''[[Volumen fásico de un estado cuántico]]''' — Relación de correspondencia clásica-cuántica y discretización del espacio de fases en celdas de tamaño <math>h^f</math>.

== Practicar ==

Acceso directo a los archivos (se abren en el navegador; los PDF saltan a la página exacta cuando corresponde):

* '''[https://planck-wiki.taile0e9c7.ts.net/planck-archive/Archivo-Competiciones-Fisica/plancks/boletines/index.html Problemas por área (boletines)]''' — los problemas de PLANCKS clasificados por área de la física; cada uno enlaza a su '''enunciado''' y a su '''solución''' por separado.

* '''[https://planck-wiki.taile0e9c7.ts.net/planck-archive/Archivo-Competiciones-Fisica/index.html Competiciones completas · scrapping previo]''' — el archivo completo tal como se recopiló: todas las competiciones con sus exámenes íntegros (PLANCKS y olimpiadas), agrupadas por nivel.

<small>Los archivos se sirven desde el propio servidor del wiki (ruta <code>/planck-archive/</code>). El resto de la estructura del wiki se irá construyendo más adelante.</small>

Plantilla:Física Estadística

2026-07-05T19:18:59Z

Eloy-ms: Se incluye el Colectivo canónico en la plantilla

<div style="margin: 2.5em 0 1.5em 0; border: 1px solid #c8ccd1; background-color: #f8f9fa; padding: 12px; border-radius: 6px; clear: both; box-shadow: 0 1px 3px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="text-align: center; font-weight: bold; font-size: 1.1em; margin-bottom: 10px; border-bottom: 1px solid #c8ccd1; padding-bottom: 6px; color: #202122;">[[Física Estadística]] — Conceptos Clave</div>
<div style="display: flex; justify-content: center; gap: 15px; flex-wrap: wrap; font-size: 0.95em;">
• [[Volumen de fases]]  • [[Colectivo microcanónico]]  • [[Colectivo canónico]]  • [[Conteo de estados]]  • [[Función de partición]]  • [[Volumen fásico de un estado cuántico]]
</div>
</div>

Colectivo canónico

2026-07-05T19:18:56Z

Eloy-ms: Creación de la página Colectivo canónico con desarrollos completos

El '''colectivo canónico''' (o colectividad canónica) es el formalismo de la [[mecánica estadística]] que describe a un '''sistema en equilibrio térmico con un baño térmico''' (o termostato) a una temperatura constante <math>T</math>. A diferencia del [[colectivo microcanónico]], el sistema puede intercambiar energía con el baño térmico, por lo que su energía interna no es fija, sino que fluctúa en torno a un valor medio. El número de partículas <math>N</math> y el volumen <math>V</math> permanecen constantes.

== Fundamento físico y deducción de probabilidades ==
Consideremos un sistema pequeño <math>\Sigma</math> en contacto térmico con un baño de calor gigante <math>B</math>. El sistema total conjunto <math>\Sigma_T = \Sigma \cup B</math> está aislado de forma global y tiene una energía total constante <math>E_T</math>. Suponiendo que la energía de interacción entre ambos es despreciable, podemos aproximar el hamiltoniano total como:

:<math>H_T \approx H_{\Sigma} + H_B</math>

Puesto que el sistema total <math>\Sigma_T</math> es aislado, está regido por el colectivo microcanónico. Según el postulado de igual probabilidad a priori, la probabilidad de encontrar al sistema conjunto en un microestado específico es constante. Así, la probabilidad <math>P_{nd}</math> de encontrar a nuestro subsistema <math>\Sigma</math> en un autoestado cuántico particular <math>|n, d\rangle</math> con energía <math>E_n</math> es proporcional al número de microestados correspondientes del baño térmico <math>\Omega_B(E_T - E_n)</math>:

:<math>P_{nd} \propto \Omega_B(E_T - E_n)</math>

Haciendo un desarrollo de Taylor de la entropía del baño <math>S_B = k_B \ln \Omega_B</math> en torno a la energía total <math>E_T</math> (debido a que <math>E_n \ll E_T</math>):

:<math>S_B(E_T - E_n) \approx S_B(E_T) - \left(\frac{\partial S_B}{\partial E_B}\right)_{V_B, N_B} E_n = S_B(E_T) - \frac{E_n}{T}</math>

donde hemos introducido la temperatura absoluta del baño mediante la relación termodinámica <math>\beta = \frac{1}{k_B T} = \frac{\partial \ln \Omega_B}{\partial E_B}</math>. Exponenciando este resultado:

:<math>\Omega_B(E_T - E_n) = e^{S_B(E_T - E_n)/k_B} \approx \Omega_B(E_T) e^{-\beta E_n}</math>

Como <math>\Omega_B(E_T)</math> es constante, obtenemos que la probabilidad de ocupar el estado <math>|n, d\rangle</math> sigue la '''distribución de Boltzmann''':

:<math>P_{nd} = \frac{e^{-\beta E_n}}{\mathcal{Z}}</math>

donde la constante de normalización es la [[función de partición]] canónica:

:<math>\mathcal{Z} = \sum_{n, d} e^{-\beta E_n} = \sum_{n} g_n e^{-\beta E_n}</math>

siendo <math>g_n</math> la degeneración del nivel de energía <math>E_n</math>.

== Operador densidad canónico ==
En la física estadística cuántica formal, el estado mixto del sistema se describe mediante el '''operador densidad canónico''' <math>\hat{\rho}</math>:

:<math>\hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{\mathcal{Z}} \quad \text{con} \quad \mathcal{Z} = \text{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)</math>

El valor medio de cualquier observable físico <math>A</math> representado por el operador <math>\hat{A}</math> se obtiene calculando la traza:

:<math>\langle \hat{A} \rangle = \text{Tr}(\hat{A}\hat{\rho}) = \frac{\text{Tr}\left(\hat{A}e^{-\beta \hat{H}}\right)}{\mathcal{Z}}</math>

== Conexión con la termodinámica ==
La pasarela entre el colectivo canónico y la termodinámica clásica se realiza a través de la '''energía libre de Helmholtz''' <math>F</math>:

:<math>F(T, V, N) = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math>

A partir de este potencial de Helmholtz, y mediante la relación diferencial <math>dF = -SdT - pdV + \sum \mu_k dN_k</math>, se deducen directamente todas las variables macroscópicas en equilibrio:

* '''Energía interna (energía media):'''
:<math>E = \langle \hat{H} \rangle = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = k_B T^2 \frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial T}</math>

* '''Entropía (Entropía de Von Neumann):'''
:<math>S = -k_B \text{Tr}(\hat{\rho}\ln\hat{\rho}) = -k_B \sum_{n, d} P_{nd} \ln P_{nd} = k_B \ln \mathcal{Z} + \frac{E}{T}</math>
:Multiplicando por <math>T</math> se recupera la definición clásica de la energía libre: <math>F = E - TS</math>.

* '''Presión y Potenciales Químicos (como fuerzas generalizadas):'''
:<math>p = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T, N} = \left\langle - \frac{\partial \hat{H}}{\partial V} \right\rangle</math>
:<math>\mu_k = \left(\frac{\partial F}{\partial N_k}\right)_{T, V} = \left\langle \frac{\partial \hat{H}}{\partial N_k} \right\rangle</math>

== Fluctuaciones de energía y capacidad calorífica ==
A diferencia de un sistema estrictamente aislado, en el colectivo canónico la energía fluctúa debido al intercambio con el termostato. La varianza de estas fluctuaciones está dada por:

:<math>\Delta^2 E = \langle \hat{H}^2 \rangle - \langle \hat{H} \rangle^2 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{n,d} E_n^2 e^{-\beta E_n} - \frac{1}{\mathcal{Z}^2} \left( \sum_{n,d} E_n e^{-\beta E_n} \right)^2</math>

Matemáticamente, esto equivale a la segunda derivada de la función de partición:

:<math>\Delta^2 E = \frac{\partial^2 \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta^2} = -\frac{\partial E}{\partial \beta}</math>

Dado que la capacidad calorífica a volumen constante es <math>C_V = \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_{V, N}</math> y <math>\frac{\partial E}{\partial \beta} = -k_B T^2 \frac{\partial E}{\partial T}</math>, llegamos a la relación fundamental:

:<math>\Delta^2 E = k_B T^2 C_V</math>

=== Equivalencia de colectivos ===
Puesto que <math>C_V</math> y <math>E</math> son propiedades extensivas proporcionales al número de partículas <math>N</math>, la desviación estándar relativa de la energía escala como:

:<math>\frac{\Delta E}{E} = \frac{\sqrt{k_B T^2 C_V}}{E} \propto \frac{\sqrt{N}}{N} = \frac{1}{\sqrt{N}}</math>

Para un sistema macroscópico (<math>N \sim 10^{23}</math>), esta fluctuación relativa es extremadamente pequeña (<math>\sim 10^{-11.5}</math>), lo que significa que la distribución de probabilidad de la energía <math>p_{\text{canónica}}(E)</math> colapsa en una función gaussiana sumamente estrecha centrada en la energía media <math>\langle \hat{H} \rangle</math>:

:<math>p_{\text{canónica}}(E) = \frac{e^{-\frac{(E - \langle \hat{H} \rangle)^2}{2k_B T^2 C_V}}}{\sqrt{2\pi k_B T^2 C_V}}</math>

En el límite termodinámico (<math>N \to \infty</math>), el colectivo canónico y el microcanónico producen predicciones macroscópicas idénticas.

== Interpretación estadística de Calor y Trabajo ==
Diferenciando el valor medio de la energía <math>E = \sum_n p_n E_n</math> (suponiendo no degeneración para simplificar los términos):

:<math>dE = \sum_n E_n dp_n + \sum_n p_n dE_n \equiv \delta Q - \delta W</math>

* '''Calor (<math>\delta Q</math>):''' Viene dado por el cambio en las probabilidades de ocupación (poblaciones) de los estados, manteniendo los niveles de energía fijos:
:<math>\delta Q = \sum_n E_n dp_n</math>
:Sustituyendo <math>E_n = -k_B T (\ln \mathcal{Z} + \ln p_n)</math> y aplicando <math>\sum dp_n = 0</math>:
:<math>\delta Q = -k_B T \sum_n \ln p_n \, dp_n = -k_B T \sum_n d(p_n \ln p_n) = T \, d\left( -k_B \sum_n p_n \ln p_n \right) = T dS</math>

* '''Trabajo (<math>\delta W</math>):''' Definido como la variación en las energías de los niveles debida al cambio de coordenadas externas de trabajo <math>\{X_i\}</math> (ej. volumen), manteniendo las poblaciones constantes:
:<math>\delta W = -\sum_n p_n dE_n = -\sum_n p_n \sum_i \left( \frac{\partial E_n}{\partial X_i} \right) dX_i = \sum_i \langle \frac{\partial H}{\partial X_i} \rangle dX_i</math>
:Si definimos la fuerza generalizada conjugada como <math>F_i = - \langle \frac{\partial H}{\partial X_i} \rangle</math>, se recupera la expresión clásica:
:<math>\delta W = \sum_i F_i dX_i</math>

Esta diferenciación constituye la demostración mecánico-estadística de la primera ley de la termodinámica.

== Teorema de equipartición clásico ==
Para un observable clásico <math>A(\Gamma)</math> y un hamiltoniano continuo <math>H(\Gamma)</math>, el valor medio es:

:<math>\langle A \rangle = \frac{\int d\Gamma \, A(\Gamma) e^{-\beta H(\Gamma)}}{\int d\Gamma \, e^{-\beta H(\Gamma)}}</math>

A partir de esta formulación se deriva el '''teorema de equipartición clásico''', el cual indica que cada grado de libertad cuadrático en el hamiltoniano aporta <math>\frac{1}{2}k_B T</math> a la energía media:

:<math>\langle q_m \frac{\partial H}{\partial q_n} \rangle = \delta_{mn} k_B T \quad \text{y} \quad \langle p_m \frac{\partial H}{\partial p_n} \rangle = \delta_{mn} k_B T</math>

mientras que los términos cruzados se anulan:

:<math>\langle q_m \frac{\partial H}{\partial p_n} \rangle = 0 \quad \text{y} \quad \langle p_m \frac{\partial H}{\partial q_n} \rangle = 0</math>

{{Física Estadística}}

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

Volumen fásico de un estado cuántico

2026-07-05T18:29:38Z

Eloy-ms: Se incluye plantilla de navegación al final de la página

El '''volumen fásico que ocupa un estado cuántico''' es el concepto clave que permite relacionar la mecánica cuántica con la física estadística clásica en el límite de transiciones de alta energía (<math>\hbar \to 0</math>). A través de las siguientes deducciones basadas en sistemas físicos típicos, se demuestra cómo cada estado cuántico discreto equivale a un volumen elemental <math>h^f</math> en el espacio de fases, siendo <math>f</math> el número de grados de libertad del sistema.

== Derivación 1: Partícula libre en una caja unidimensional ==

=== Caso cuántico ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> libre pero confinada en una caja unidimensional de longitud <math>L</math> (un grado de libertad, <math>f=1</math>). Su operador [[hamiltoniano cuántico]] es:

:<math>\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} \quad | \quad \hat{p} = -i\hbar \partial_x</math>

La ecuación de autovalores de Schrödinger para este sistema es:

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\psi = E\psi</math>

Imponiendo las condiciones de contorno de que la función de onda se anule en las paredes (<math>\psi(0) = \psi(L) = 0</math>), obtenemos las soluciones del tipo:

:<math>\psi_n(x) = A \sin(k_n x) \quad \text{con} \quad k_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)</math>

Los autovalores de la energía asociados son:

:<math>E_n = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2</math>

Para contar el número de estados cuánticos <math>N_{cuant}(E)</math> con energía menor o igual a <math>E</math> usamos la traza del operador escalón:

:<math>N_{cuant}(E) = \text{Tr} \, \Theta(E - \hat{H}) = \sum_{n} \Theta\left(E - \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 n^2\right)</math>

Para energías macroscópicas muy elevadas (<math>E \gg 1</math>), aproximamos el sumatorio discreto mediante una integral continua:

:<math>N_{cuant}(E) \approx \int_0^{\infty} dn \, \Theta\left(1 - \left(\frac{\hbar\pi}{L}\right)^2 \frac{n^2}{2mE}\right)</math>

Realizando el cambio de variable adimensional <math>x = \frac{\hbar\pi n}{L\sqrt{2mE}} \implies dn = \sqrt{2mE}\left(\frac{L}{\pi\hbar}\right) dx</math>, la integral se simplifica a:

:<math>N_{cuant}(E) = \int_0^1 \sqrt{2mE}\left(\frac{L}{\pi\hbar}\right) dx = \frac{L\sqrt{2mE}}{\pi\hbar} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{h}</math>

donde se ha usado que la constante de Planck clásica es <math>h = 2\pi\hbar</math>.

=== Caso clásico ===
Para el mismo sistema clásico, planteamos el conteo de estados utilizando una constante de normalización fásica <math>C</math> que representa el volumen elemental de un estado:

:<math>N_{clas}(E) = \int \frac{dx \, dp}{C} \, \Theta(E - H(x, p)) = \int \frac{dx \, dp}{C} \, \Theta\left(1 - \frac{p^2}{2mE}\right)</math>

Dado que la posición de la partícula libre está acotada en <math>[0, L]</math> y el momento en el intervalo <math>[-\sqrt{2mE}, \sqrt{2mE}]</math>:

:<math>N_{clas}(E) = \frac{L}{C} \int_{-\sqrt{2mE}}^{\sqrt{2mE}} dp = \frac{2L\sqrt{2mE}}{C}</math>

=== Comparación ===
Para que la descripción cuántica de la física estadística coincida en el límite clásico con la formulación continua, igualamos ambas expresiones (<math>N_{cuant}(E) = N_{clas}(E)</math>):

:<math>\frac{2L\sqrt{2mE}}{h} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{C} \implies C = h</math>

Esto demuestra analíticamente que para un sistema con un grado de libertad (<math>f=1</math>), cada estado cuántico ocupa un volumen elemental de tamaño <math>h</math> en el espacio de fases.

== Derivación 2: Oscilador armónico clásico en <math>f</math> dimensiones ==

=== Caso clásico ===
Consideremos un oscilador armónico en <math>f</math> dimensiones bajo la visión clásica del hamiltoniano:

:<math>H(q, p) = \sum_{k=1}^f \left( \frac{p_k^2}{2m} + \frac{m\omega_k^2}{2}q_k^2 \right)</math>

El volumen fásico acumulado, denotado clásicamente por <math>\tilde{N}</math>, es:

:<math>\tilde{N} = \int dq_1 \, dp_1 \dots dq_f \, dp_f \, \Theta\left(E - \sum_{k=1}^f \left( \frac{p_k^2}{2m} + \frac{m\omega_k^2}{2}q_k^2 \right)\right)</math>

Realizando los cambios de variable adimensionales:

:<math>\mu_k = \sqrt{\frac{\omega_k^2 m}{2E}} q_k \quad \text{y} \quad \xi_k = \sqrt{\frac{1}{2mE}} p_k \implies dq_k \, dp_k = \frac{2E}{\omega_k} d\mu_k \, d\xi_k</math>

La integral se reduce a:

:<math>\tilde{N} = \left(\frac{2E}{\tilde{\omega}}\right)^f \int d\mu_1 \, d\xi_1 \dots d\mu_f \, d\xi_f \, \Theta\left(1 - \sum_{k=1}^f (\mu_k^2 + \xi_k^2)\right)</math>

donde <math>\tilde{\omega} = \left(\prod_{k=1}^f \omega_k\right)^{1/f}</math> es la media geométrica de las frecuencias. Esta integral representa el hipervolumen de una hiperesfera unitaria de dimensión <math>2f</math>, cuyo valor es:

:<math>V_{2f} = \frac{\pi^f}{\Gamma(f+1)} = \frac{\pi^f}{f!}</math>

Sustituyendo este hipervolumen, se obtiene para el volumen fásico clásico:

:<math>\tilde{N} = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \frac{1}{f!}</math>

=== Volumen de un estado en el espacio de fases ===
Conociendo el número de estados acumulados que predice la física cuántica para un oscilador armónico multidimensional:

:<math>N_{cuant}(E) = \frac{1}{f!} \left( \frac{E}{\hbar\tilde{\omega}} \right)^f</math>

El volumen que ocupa cada estado cuántico en el espacio de fases clásico se obtiene calculando el cociente entre el volumen fásico clásico acumulado y el número de estados cuántico:

:<math>\frac{\tilde{N}}{N_{cuant}} = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \left( \frac{\hbar\tilde{\omega}}{E} \right)^f = (2\pi\hbar)^f = h^f</math>

donde se ha sustituido la constante reducida de Planck <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math>.

=== Conclusión ===
Este resultado general demuestra de manera exacta que para cualquier sistema físico de <math>f</math> grados de libertad, cada estado cuántico ocupa un hipervolumen elemental de:

:<math>\delta V_{\Gamma} = h^f</math>

en el espacio de fases.

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

{{Física Estadística}}

Función de partición

2026-07-05T18:29:36Z

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La '''función de partición''' (habitualmente denotada por <math>\mathcal{Z}</math>) es una magnitud adimensional matemática que desempeña un papel central en la [[mecánica estadística]]. Dentro del formalismo del [[colectivo canónico]], representa la suma de los factores de Boltzmann sobre todos los estados microscópicos posibles del sistema. Sirve como la constante de normalización de la distribución de probabilidad canónica y contiene toda la información necesaria para derivar las variables termodinámicas macroscópicas.

== Definición matemática ==

=== Caso cuántico ===
Para un sistema cuántico en equilibrio térmico con un baño térmico a temperatura <math>T</math> (con temperatura inversa <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math>), la función de partición es el sumatorio de los pesos de Boltzmann de todos los niveles de energía del sistema:

:<math>\mathcal{Z} = \sum_{n} g_n e^{-\beta E_n}</math>

donde <math>E_n</math> son los autovalores de la energía del sistema y <math>g_n</math> representa su respectiva degeneración. En la formulación de operadores de la mecánica cuántica, esta suma se expresa de forma elegante e independiente de la base como la [[traza]] de la matriz de densidad no normalizada en el espacio de Hilbert:

:<math>\mathcal{Z} = \text{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)</math>

donde <math>\hat{H}</math> es el operador hamiltoniano.

=== Caso clásico ===
En mecánica clásica, donde el espacio de estados es continuo, la función de partición se calcula como una integral sobre todo el [[espacio de fases]] <math>\Gamma</math> escalada por el cuanto de volumen fásico elemental <math>h^f</math>:

:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N! h^f} \int e^{-\beta H_{cla}(\Gamma)} \, d\Gamma</math>

donde <math>f</math> es el número de grados de libertad, <math>h</math> es la constante de Planck, y <math>1/N!</math> es el factor corrector de Gibbs para partículas indistinguibles.

== Ejemplos fundamentales de aplicación ==

=== 1. Qubit independiente en un baño térmico ===
Consideremos el sistema cuántico más sencillo posible: un sistema de dos niveles de energía (un qubit) no degenerado, con energías <math>E_0 = 0</math> (estado fundamental) y <math>E_1 = \epsilon</math> (estado excitado).

La función de partición para este qubit es:

:<math>\mathcal{Z} = e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \epsilon} = 1 + e^{-\beta \epsilon}</math>

A partir de esta función de partición, podemos calcular:
* '''Probabilidad de ocupación de los estados:'''
#:<math>P_0 = \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}}, \quad P_1 = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}</math>
* '''Energía media del sistema <math>\langle E \rangle</math>:'''
#:<math>\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}} = \frac{\epsilon}{e^{\beta \epsilon} + 1}</math>

=== 2. Gas ideal clásico de partículas indistinguibles ===
Consideremos un gas ideal clásico constituido por <math>N</math> partículas idénticas de masa <math>m</math> confinadas en un volumen <math>V</math>. El hamiltoniano clásico del sistema es <math>H(\Gamma) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\vec{p}_i^2}{2m}</math>.

Dado que las partículas no interactúan, la función de partición total del sistema se factoriza en el producto de las funciones de partición de una sola partícula (<math>\mathcal{Z}_1</math>), corregidas por el factor <math>1/N!</math> debido a su indistinguibilidad:

:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N!} (\mathcal{Z}_1)^N</math>

La función de partición monoparticular <math>\mathcal{Z}_1</math> es:

:<math>\mathcal{Z}_1 = \frac{1}{h^3} \int_V d^3 r \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} d^3 p = \frac{V}{h^3} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p_x^2}{2m}} dp_x \right)^3</math>

La integral sobre el momento es una integral gaussiana clásica cuyo valor es <math>\sqrt{2\pi m k_B T}</math>. Por lo tanto:

:<math>\mathcal{Z}_1 = V \left( \frac{2\pi m k_B T}{h^2} \right)^{3/2} = \frac{V}{\lambda_{th}^3}</math>

donde <math>\lambda_{th} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}</math> es la '''longitud de onda térmica de de Broglie'''. La función de partición clásica total del gas ideal es:

:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N!} \left( \frac{V}{\lambda_{th}^3} \right)^N</math>

== Conexión con la termodinámica ==
La función de partición constituye la conexión directa entre la mecánica estadística y las propiedades macroscópicas:

# '''Energía libre de Helmholtz (<math>F</math>)''':
#:<math>F(T, V, N) = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math>
#:Para el gas ideal, aplicando la aproximación de Stirling:
#:<math>F \approx -k_B T \left[ N \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + N \right] = -N k_B T \left[ \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + 1 \right]</math>
# '''Energía interna (<math>E</math>)''':
#:<math>E = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = k_B T^2 \frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial T}</math>
#:Para el gas ideal esto da <math>E = \frac{3}{2} N k_B T</math>, recuperando el teorema de equipartición.
# '''Entropía (<math>S</math>)''':
#:<math>S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V, N} = k_B \ln \mathcal{Z} + \frac{E}{T}</math>
#:Que para el gas ideal clásico reproduce de forma exacta la '''ecuación de Sackur-Tetrode''':
#:<math>S = N k_B \left[ \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + \frac{5}{2} \right]</math>
# '''Presión (<math>p</math>) y Potencial químico (<math>\mu</math>)''':
#:<math>p = k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial V}\right)_{T, N} \implies pV = N k_B T \quad \text{(Ecuación de estado del gas ideal)}</math>
#:<math>\mu = -k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial N}\right)_{T, V} = k_B T \ln\left( \frac{N \lambda_{th}^3}{V} \right)</math>

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

{{Física Estadística}}

Conteo de estados

2026-07-05T18:29:34Z

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El '''conteo de estados''' en [[mecánica estadística]] es el procedimiento matemático para determinar el número de estados cuánticos discretos o el volumen fásico clásico disponible para un sistema bajo restricciones físicas dadas (como energía, volumen y número de partículas). Representa el pilar sobre el cual se construyen los potenciales termodinámicos a partir de la física microscópica.

== Caso cuántico ==
En mecánica cuántica, para un sistema confinado en un volumen macroscópico, el espectro de energías de su hamiltoniano <math>\hat{H}</math> es discreto. Denotamos los niveles de energía por <math>E_n</math> y su degeneración por <math>g_n</math>.

=== Número acumulado de estados <math>N(E)</math> ===
Representa el número total de autoestados cuánticos cuya energía es menor o igual a <math>E</math>:

:<math>N(E) = \sum_{n: E_n \le E} g_n = \text{Tr}[\Theta(E - \hat{H})]</math>

donde <math>\Theta(x)</math> es la [[función escalón de Heaviside]].

=== Densidad de estados <math>\sigma(E)</math> ===
La densidad de estados <math>\sigma(E)</math> (a veces denotada por <math>g(E)</math> o <math>D(E)</math>) representa el número de estados por unidad de energía a la energía <math>E</math>. Se define formalmente como la derivada del número acumulado de estados:

:<math>\sigma(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \sum_{n} g_n \delta(E - E_n) = \text{Tr}[\delta(E - \hat{H})]</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]].

=== Ejemplo: Partícula libre en una caja tridimensional ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> encerrada en una caja tridimensional de dimensiones <math>L_x, L_y, L_z</math> con volumen <math>V = L_x L_y L_z</math>.

Resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria con condiciones de contorno de pozo infinito (la función de onda se anula en las paredes), se obtienen las energías permitidas:

:<math>E(n_x, n_y, n_z) = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)</math>

donde <math>n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \dots</math> son los números cuánticos.

Para calcular <math>N(E)</math> cuando el número de estados es muy grande (límite macroscópico), podemos aproximar la suma discreta por una integral sobre el octante positivo de una elipsoide en el espacio de números cuánticos <math>(n_x, n_y, n_z)</math>, cuyo radio energético es:

:<math>\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2 + \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2 \le \frac{2mE}{\hbar^2\pi^2}</math>

El volumen del octante positivo de esta elipsoide nos da el número de estados acumulados <math>N(E)</math>:

:<math>N(E) \approx \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot L_x L_y L_z \left( \frac{2mE}{\hbar^2 \pi^2} \right)^{3/2} \right) = \frac{V}{6\pi^2} \left( \frac{2mE}{\hbar^2} \right)^{3/2} = \frac{4\pi V}{3 h^3} (2mE)^{3/2}</math>

donde <math>h = 2\pi\hbar</math>.

Derivando respecto a <math>E</math>, obtenemos la densidad de estados cuántica para una partícula en 3D:

:<math>\sigma(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{2\pi V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2}</math>

Esta dependencia en raíz cuadrada de la energía (<math>E^{1/2}</math>) es una propiedad característica de la densidad de estados para partículas libres en sistemas de tres dimensiones.

== Caso clásico ==
En física clásica, el estado del sistema es continuo y viene descrito en el [[espacio de fases]]. De acuerdo con el principio de correspondencia, cada estado cuántico ocupa un volumen fásico elemental de tamaño <math>h^f</math>, donde <math>f</math> es el número de grados de libertad.

Para un sistema clásico con <math>f</math> grados de libertad y partículas idénticas:

* '''Número clásico de estados acumulados:'''
:<math>N_{cla}(E) = \frac{1}{N! h^f} \int \Theta(E - H_{cla}(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

* '''Densidad clásica de estados:'''
:<math>\sigma_{cla}(E) = \frac{1}{N! h^f} \int \delta(E - H_{cla}(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

donde <math>d\Gamma = d^f q \, d^f p</math> es la medida de volumen clásica en el espacio de fases, y el factor de escala <math>1/N!</math> es la corrección clásica por la indistinguibilidad de las partículas.

== Límite termodinámico ==
Para un sistema macroscópico con <math>N \sim 10^{23}</math> partículas, tanto el número acumulado de estados <math>N(E)</math> como la densidad de estados <math>\sigma(E)</math> son funciones que crecen de forma extraordinariamente rápida con la energía (típicamente del orden de <math>E^{f}</math> con <math>f \gg 1</math>). Debido a esta dependencia de potencia extrema, la entropía del sistema definida en cualquiera de estas magnitudes coincide de forma exacta en el límite termodinámico:

:<math>S = k_B \ln \Omega \approx k_B \ln N(E) \approx k_B \ln \sigma(E)</math>

Las variaciones debidas a los factores de escala de energía son despreciables frente a la magnitud total de la entropía, que escala linealmente con el número de partículas <math>N</math> (propiedad extensiva).

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

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Colectivo microcanónico

2026-07-05T18:29:32Z

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El '''colectivo microcanónico''' (o colectividad microcanónica) es el formalismo de la [[mecánica estadística]] que describe a un '''sistema aislado''' en equilibrio térmico. Un sistema aislado no intercambia energía, volumen ni número de partículas con su entorno; por lo tanto, la energía total <math>E</math>, el volumen <math>V</math> y el número de partículas <math>N</math> se mantienen estrictamente constantes.

== Postulado fundamental ==
El colectivo microcanónico se basa en el '''postulado de igual probabilidad a priori''':
<blockquote>
'''Postulado:''' Para un sistema aislado en equilibrio térmico, todos los microestados accesibles compatibles con las restricciones macroscópicas impuestas al sistema (mismo <math>E</math>, <math>V</math>, <math>N</math>) tienen exactamente la misma probabilidad de ser ocupados.
</blockquote>

== Formulación en física clásica ==
En mecánica estadística clásica, el estado microscópico de un sistema de <math>N</math> partículas con <math>f</math> grados de libertad se representa como un punto <math>\Gamma = (q, p)</math> en el [[espacio de fases]] continuo de <math>2f</math> dimensiones.

Puesto que la energía del sistema está fijada exactamente en el valor <math>E</math>, la [[densidad de probabilidad]] en el equilibrio, <math>\rho_{eq}(\Gamma)</math>, debe anularse en todo el espacio de fases excepto en la hipersuperficie de energía constante definida por el [[hamiltoniano]] clásico <math>H(\Gamma) = E</math>:

:<math>\rho_{eq}(\Gamma) = \frac{\delta(E - H(\Gamma))}{\sigma_{cla}(E)}</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]] y <math>\sigma_{cla}(E)</math> es la densidad de estados clásica que actúa como constante de normalización:

:<math>\sigma_{cla}(E) = \int \delta(E - H(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

=== Formulación con corteza de energía ===
Dado que físicamente una energía exacta es una idealización matemática, se suele definir el colectivo considerando una pequeña incertidumbre de energía <math>\Delta E</math> (donde <math>\Delta E \ll E</math>). La densidad de probabilidad se distribuye uniformemente en la corteza fásica correspondiente al intervalo <math>[E, E + \Delta E]</math>:

:<math>\rho_{eq}(\Gamma) = \begin{cases} \frac{1}{\Omega_{cla}} & \text{si } H(\Gamma) \in [E, E + \Delta E] \\ 0 & \text{si } H(\Gamma) \notin [E, E + \Delta E] \end{cases}</math>

donde <math>\Omega_{cla}</math> es el volumen de la corteza en el espacio de fases:

:<math>\Omega_{cla} = \Phi(E + \Delta E) - \Phi(E) \approx \sigma_{cla}(E)\Delta E</math>

siendo <math>\Phi(E)</math> el [[volumen de fases]] acumulado.

== Formulación en física estadística cuántica ==
En mecánica cuántica, los niveles de energía de un sistema confinado son discretos. Denotamos por <math>|n, d\rangle</math> los autoestados del [[hamiltoniano cuántico]] <math>\hat{H}</math>, con autoenergía <math>E_n</math> y donde <math>d \in [1, g_n]</math> representa el índice de degeneración del nivel de energía <math>g_n</math>.

El número de estados cuánticos accesibles en el rango de energías de la corteza <math>[E, E + \Delta E]</math> es:

:<math>\Omega = \sum_{n: E_n \in [E, E+\Delta E]} g_n = \text{Tr}\left[ \Theta(E + \Delta E - \hat{H}) - \Theta(E - \hat{H}) \right]</math>

La probabilidad de ocupar un estado individual <math>|n, d\rangle</math> en el equilibrio es constante para los estados dentro del rango permitido y nula para los demás:

:<math>P_{nd} = \begin{cases} \frac{1}{\Omega} & \text{si } E_n \in [E, E + \Delta E] \\ 0 & \text{en cualquier otro caso} \end{cases}</math>

=== Operador densidad microcanónico ===
El estado cuántico global del sistema se describe por el '''operador densidad de probabilidad microcanónico''':

:<math>\hat{\rho}_{eq} = \frac{1}{\Omega} \sum_{n: E_n \in [E, E+\Delta E]} |n, d\rangle\langle n, d| = \frac{1}{\Omega} \left[ \Theta(E + \Delta E - \hat{H}) - \Theta(E - \hat{H}) \right]</math>

Para que este operador esté bien definido, el ancho de la corteza de energía <math>\Delta E</math> debe ser mucho mayor que el espaciamiento medio entre niveles sucesivos (<math>\Delta E \gg \langle E_{n+1} - E_n \rangle</math>), de modo que contenga un número estadísticamente representativo de estados. En el límite formal <math>\Delta E \to 0</math>, el operador densidad se expresa como:

:<math>\hat{\rho}_{eq} = \frac{\delta(E - \hat{H})}{\sigma(E)}</math>

donde <math>\sigma(E) = \text{Tr}[\delta(E - \hat{H})]</math> es la densidad cuántica de estados.

== Valores medios de observables ==
Para cualquier magnitud física <math>A</math> (clásica <math>A(\Gamma)</math> o cuántica <math>\hat{A}</math>), su valor medio en el colectivo microcanónico viene dado por:

* '''Clásico:'''
:<math>\langle A \rangle = \int A(\Gamma) \rho_{eq}(\Gamma) \, d\Gamma = \frac{1}{\sigma_{cla}(E)} \int A(\Gamma) \delta(E - H(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

* '''Cuántico:'''
:<math>\langle \hat{A} \rangle = \text{Tr}(\hat{A}\hat{\rho}_{eq}) = \frac{\text{Tr}[\hat{A}\delta(E - \hat{H})]}{\sigma(E)}</math>

== Conexión termodinámica y entropía ==
La conexión del colectivo microcanónico con la termodinámica clásica se establece mediante la relación fundamental de Boltzmann para la entropía:

:<math>S(E, V, N) = k_B \ln \Omega</math>

donde <math>\Omega</math> es el número de estados microscópicos compatibles con las variables macroscópicas.

=== Ejemplo clásico: Gas ideal y la ecuación de Sackur-Tetrode ===
Para un gas ideal clásico de <math>N</math> partículas indistinguibles en un volumen <math>V</math>, el número de estados accesibles clásicamente en la corteza <math>[E, E+\Delta E]</math> es:

:<math>\Omega(E) \approx \sigma_{cla}(E) \Delta E = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} \frac{\Delta E}{E}</math>

Aplicando la [[aproximación de Stirling]] (<math>\ln N! \approx N \ln N - N</math> y <math>\ln \Gamma(3N/2) \approx \frac{3N}{2} \ln \frac{3N}{2} - \frac{3N}{2}</math>) en el límite termodinámico (<math>N \gg 1</math>), los términos de orden inferior como <math>\ln(\Delta E/E)</math> se vuelven despreciables frente a los proporcionales a <math>N</math>. La entropía del sistema resulta en:

:<math>S = N k_B \left[ \ln \left( \frac{V}{N} \left( \frac{4\pi m E}{3N h^2} \right)^{3/2} \right) + \frac{5}{2} \right]</math>

Esta es la célebre '''ecuación de Sackur-Tetrode'''. La obtención de esta fórmula ilustra dos aspectos cruciales de la física estadística clásica:
# '''La paradoja de Gibbs:''' La inclusión del factor corrector <math>1/N!</math> es indispensable para garantizar que la entropía sea una variable extensiva (es decir, que al duplicar <math>N</math>, <math>V</math> y <math>E</math>, la entropía <math>S</math> también se duplique). Sin este factor, la entropía presentaría un término no extensivo físicamente incorrecto.
# '''El límite clásico de la constante de Planck:''' La constante de Planck <math>h</math> aparece de forma natural como el volumen del cuanto fásico elemental por grado de libertad (<math>h^{3N}</math>), lo cual proporciona un origen absoluto para la entropía, resolviendo la indeterminación clásica y siendo congruente con el tercer principio de la termodinámica.

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Volumen de fases

2026-07-05T18:29:29Z

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El '''volumen de fases''' (o '''volumen fásico'''), usualmente denotado por <math>\Phi(E)</math>, es un concepto fundamental en [[mecánica clásica]], [[mecánica hamiltoniana]] y [[mecánica estadística]]. Representa el hipervolumen de la región del [[espacio de fases]] que comprende todos los estados microscópicos cuya energía total es menor o igual a un valor dado <math>E</math>.

== Definición geométrica y matemática ==

En la descripción clásica de un sistema físico con <math>N</math> partículas en <math>d</math> dimensiones, el sistema posee <math>f = Nd</math> grados de libertad. El estado instantáneo del sistema está completamente caracterizado por un punto <math>\Gamma</math> en un espacio continuo de <math>2f</math> dimensiones, llamado '''espacio de fases'''. Las coordenadas de este espacio son:
* Las coordenadas generalizadas: <math>q = (q_1, q_2, \dots, q_f)</math>
* Los momentos conjugados: <math>p = (p_1, p_2, \dots, p_f)</math>

El volumen fásico acumulado <math>\Phi(E)</math> es el volumen de la región encerrada por la superficie de energía constante <math>H(q, p) = E</math> (donde <math>H</math> es el [[hamiltoniano]] clásico del sistema). Se define matemáticamente como:

:<math>\Phi(E) = \int_{H(q,p) \le E} dq_1 \dots dq_f \, dp_1 \dots dp_f = \int \Theta(E - H(q, p)) \, d\Gamma</math>

donde:
* <math>d\Gamma = d^f q \, d^f p = dq_1 \dots dq_f \, dp_1 \dots dp_f</math> es el elemento de volumen diferencial en el espacio de fases.
* <math>\Theta(x)</math> es la [[función escalón de Heaviside]], que toma el valor <math>1</math> si <math>x \ge 0</math> y <math>0</math> si <math>x < 0</math>.

=== Propiedades fundamentales ===
# '''Monotonicidad:''' Dado que la función hamiltoniana es acotada inferiormente para sistemas físicos reales y <math>\Theta</math> es una función no decreciente, el volumen de fases <math>\Phi(E)</math> es una función estrictamente creciente de la energía <math>E</math> (para energías por encima del estado fundamental).
# '''Dimensión física:''' Las variables <math>q_i</math> y <math>p_i</math> son conjugadas, por lo que su producto <math>q_i p_i</math> tiene dimensiones de acción física (energía <math>\times</math> tiempo, o <math>\text{J} \cdot \text{s}</math> en el SI). Así, el volumen fásico <math>\Phi</math> tiene dimensiones de <math>(\text{acción})^f</math>.

== Conservación del volumen de fases: Teorema de Liouville ==

Una de las propiedades más notables del volumen fásico clásico es su comportamiento bajo la evolución temporal del sistema. De acuerdo con el [[Teorema de Liouville]], si consideramos un conjunto de sistemas cuyas condiciones iniciales ocupan una región de volumen fásico <math>\Phi_0</math> en <math>t=0</math>, el volumen ocupado por estos sistemas a lo largo de su trayectoria temporal se conserva de forma exacta:

:<math>\frac{d\Phi(t)}{dt} = 0</math>

Esto significa que, aunque la forma geométrica de la región en el espacio de fases se deforme o estire drásticamente (un fenómeno conocido como ''mixing'' o mezclado fásico), el volumen total encerrado permanece estrictamente constante. Físicamente, el flujo de los puntos representativos en el espacio de fases se comporta como un fluido incompresible, cuya divergencia es nula:

:<math>\nabla \cdot \vec{v}_{\Gamma} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \right) = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i \partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i} \right) = 0</math>

== Relación con la densidad de estados y colectividades ==

A partir del volumen fásico acumulado <math>\Phi(E)</math>, se derivan directamente otras cantidades claves del equilibrio estadístico:

=== Densidad de estados ===
La [[densidad de estados]] <math>\sigma(E)</math> representa la cantidad de microestados disponibles por unidad de energía a una energía exacta <math>E</math>. Se define como la derivada del volumen fásico respecto a la energía:

:<math>\sigma(E) = \frac{d\Phi(E)}{dE} = \int \delta(E - H(q, p)) \, d\Gamma</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]].

=== Colectivo Microcanónico ===
En el [[colectivo microcanónico]], que describe sistemas aislados con una energía comprendida en una corteza fina <math>[E, E + \Delta E]</math>, el número de estados microscópicos clásica <math>\Omega(E)</math> corresponde a la porción del volumen fásico contenida en dicha corteza:

:<math>\Omega(E) = \Phi(E + \Delta E) - \Phi(E) \approx \sigma(E) \Delta E</math>

== Derivaciones en sistemas físicos típicos ==

=== 1. Gas ideal clásico de partículas idénticas ===
Consideremos un gas ideal clásico compuesto por <math>N</math> partículas sin estructura interna contenidas en un volumen espacial <math>V</math>. El hamiltoniano del sistema es puramente cinético:

:<math>H(q, p) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\vec{p}_i^2}{2m} = \sum_{j=1}^{3N} \frac{p_j^2}{2m}</math>

El número de grados de libertad es <math>f = 3N</math>. El volumen de fases viene dado por:

:<math>\Phi(E) = \int_{V} d^3 r_1 \dots d^3 r_N \int_{\sum p_j^2 \le 2mE} d^{3N}p</math>

La integración espacial sobre las coordenadas de las partículas es inmediata y da como resultado <math>V^N</math>. La integral sobre los momentos representa el volumen de una hiperesfera de dimensión <math>3N</math> y radio <math>R = \sqrt{2mE}</math>. Usando la fórmula general del volumen de una hiperesfera unitaria de dimensión <math>D</math>, <math>V_D(R) = \frac{\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2 + 1)} R^D</math>, obtenemos:

:<math>\Phi(E) = V^N \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma\left(\frac{3N}{2} + 1\right)}</math>

Si las partículas son indistinguibles, debemos introducir el factor corrector de Gibbs <math>1/N!</math>:

:<math>\Phi(E) = \frac{V^N}{N!} \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma\left(\frac{3N}{2} + 1\right)}</math>

=== 2. Oscilador armónico en <math>f</math> dimensiones ===
Para un oscilador armónico clásico multidimensional con hamiltoniano:

:<math>H(q, p) = \sum_{k=1}^{f} \left( \frac{p_k^2}{2m} + \frac{m\omega_k^2}{2} q_k^2 \right)</math>

El volumen fásico se calcula transformando a variables adimensionales:

:<math>\mu_k = \sqrt{\frac{m\omega_k^2}{2E}} q_k, \quad \xi_k = \sqrt{\frac{1}{2mE}} p_k \implies dq_k dp_k = \frac{2E}{\omega_k} d\mu_k d\xi_k</math>

Lo que reduce el problema a calcular el volumen de una hiperesfera <math>2f</math>-dimensional de radio unitario:

:<math>\Phi(E) = \left( \frac{2E}{\tilde{\omega}} \right)^f \int_{\sum (\mu_k^2 + \xi_k^2) \le 1} d^{2f}\mu d^{2f}\xi = \left( \frac{2E}{\tilde{\omega}} \right)^f \frac{\pi^f}{\Gamma(f + 1)}</math>

donde <math>\tilde{\omega} = (\prod_{k=1}^f \omega_k)^{1/f}</math>. Así, el volumen fásico es:

:<math>\Phi(E) = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \frac{1}{f!}</math>

== Discretización y conexión cuántica ==

Clásicamente, el volumen fásico es una variable continua y puede subdividirse indefinidamente. Sin embargo, la mecánica cuántica impone una limitación física fundamental mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg, estableciendo que el volumen fásico mínimo que puede ser asociado a un estado físico cuántico es <math>h^f</math>, donde <math>h</math> es la [[constante de Planck]].

Esto permite discretizar el espacio de fases clásico definiendo el número de estados acumulados adimensional <math>N(E)</math> mediante:

:<math>N(E) = \frac{\Phi(E)}{h^f}</math>

(o bien <math>N(E) = \frac{\Phi(E)}{N! h^f}</math> para partículas indistinguibles), sirviendo como la conexión teórica formal entre las formulaciones estadísticas clásica y cuántica.

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

{{Física Estadística}}

Plantilla:Física Estadística

2026-07-05T18:29:28Z

Eloy-ms: Creación de plantilla de navegación de física estadística

<div style="margin: 2.5em 0 1.5em 0; border: 1px solid #c8ccd1; background-color: #f8f9fa; padding: 12px; border-radius: 6px; clear: both; box-shadow: 0 1px 3px rgba(0,0,0,0.05);">
<div style="text-align: center; font-weight: bold; font-size: 1.1em; margin-bottom: 10px; border-bottom: 1px solid #c8ccd1; padding-bottom: 6px; color: #202122;">[[Física Estadística]] — Conceptos Clave</div>
<div style="display: flex; justify-content: center; gap: 15px; flex-wrap: wrap; font-size: 0.95em;">
• [[Volumen de fases]]  • [[Colectivo microcanónico]]  • [[Conteo de estados]]  • [[Función de partición]]  • [[Volumen fásico de un estado cuántico]]
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2026-07-05T18:29:28Z

Eloy-ms: Se añade sección de Conceptos y Apuntes para Física Estadística

<strong>Wiki de las Olimpiadas de Física — PLANCKS 2027</strong>

Espacio de preparación del equipo (en construcción). Por ahora la prioridad es el acceso directo al material de práctica. Recopilación de exámenes elaborada por Hugo.

== Conceptos y Apuntes ==

=== Física Estadística ===
Una recopilación de apuntes detallados sobre conceptos clave de la física y mecánica estadística, conectando las descripciones clásicas y cuánticas:
* '''[[Volumen de fases]]''' — Hipervolumen del espacio de fases acotado por la energía y su relación con la densidad de estados.
* '''[[Colectivo microcanónico]]''' — Formalismo para describir estadísticamente sistemas aislados en equilibrio térmico.
* '''[[Conteo de estados]]''' — Procedimientos matemáticos para enumerar microestados en física clásica y cuántica.
* '''[[Función de partición]]''' — Sumatorio de los factores de Boltzmann, nexo central con la termodinámica del colectivo canónico.
* '''[[Volumen fásico de un estado cuántico]]''' — Relación de correspondencia clásica-cuántica y discretización del espacio de fases en celdas de tamaño <math>h^f</math>.

== Practicar ==

Acceso directo a los archivos (se abren en el navegador; los PDF saltan a la página exacta cuando corresponde):

* '''[https://planck-wiki.taile0e9c7.ts.net/planck-archive/Archivo-Competiciones-Fisica/plancks/boletines/index.html Problemas por área (boletines)]''' — los problemas de PLANCKS clasificados por área de la física; cada uno enlaza a su '''enunciado''' y a su '''solución''' por separado.

* '''[https://planck-wiki.taile0e9c7.ts.net/planck-archive/Archivo-Competiciones-Fisica/index.html Competiciones completas · scrapping previo]''' — el archivo completo tal como se recopiló: todas las competiciones con sus exámenes íntegros (PLANCKS y olimpiadas), agrupadas por nivel.

<small>Los archivos se sirven desde el propio servidor del wiki (ruta <code>/planck-archive/</code>). El resto de la estructura del wiki se irá construyendo más adelante.</small>

Volumen fásico de un estado cuántico

2026-07-05T18:14:36Z

Eloy-ms: Artículo reescrito por completo con las derivaciones exactas de la caja 1D y oscilador f-dimensional

Volumen fásico de un estado cuántico

2026-07-05T18:11:16Z

Eloy-ms: Artículo altamente pulido con ejemplos y derivaciones

El '''volumen fásico que ocupa un estado cuántico''' es un concepto puente fundamental que permite relacionar la [[mecánica estadística clásica]] con la [[mecánica estadística cuántica]]. Establece cómo el espacio de fases continuo clásico es discretizado por la naturaleza discreta de los estados cuánticos debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, asignando un volumen elemental a cada estado cuántico igual a <math>h^f</math>, donde <math>h</math> es la constante de Planck y <math>f</math> es el número de grados de libertad del sistema.

== Origen físico: Relación de incertidumbre ==
En mecánica cuántica, las coordenadas <math>q_i</math> y sus momentos conjugados <math>p_i</math> no pueden determinarse simultáneamente con precisión arbitraria debido al [[principio de incertidumbre de Heisenberg]]:

:<math>\Delta q_i \Delta p_i \ge \frac{\hbar}{2}</math>

Esta indeterminación física implica que en el [[espacio de fases]] clásico no tiene sentido hablar de puntos con dimensiones nulas. En su lugar, el espacio de fases se discretiza en celdas elementales de volumen fásico finito. La física estadística asocia cada uno de los estados cuánticos discretos con una de estas celdas en el espacio de fases clásico.

== Conexión histórica: Regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld ==
Antes del desarrollo de la mecánica cuántica moderna, la teoría cuántica antigua utilizaba la '''regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld''' para determinar los niveles de energía permitidos de un sistema periódico con coordenadas <math>q</math> y momentos <math>p</math>:

:<math>\oint p \, dq = n h \quad \text{con } n = 1, 2, 3, \dots</math>

Geométricamente, la integral <math>\oint p \, dq</math> representa el área (o volumen fásico para un grado de libertad, <math>f=1</math>) encerrada por la trayectoria cerrada del sistema en el espacio de fases para el estado cuántico <math>n</math>.

Esta regla implica que las órbitas permitidas en el espacio de fases encierran áreas que son múltiplos enteros de la constante de Planck <math>h</math>. El área fásica comprendida entre la órbita <math>n</math> y la órbita inmediatamente anterior <math>n-1</math> es exactamente:

:<math>\Delta A = \oint p_n \, dq - \oint p_{n-1} \, dq = n h - (n-1) h = h</math>

Este resultado constituyó la primera indicación histórica de que cada estado cuántico individual ocupa un área (volumen fásico elemental) igual a la constante de Planck <math>h</math> en el espacio de fases de dos dimensiones.

== Derivaciones del volumen por estado (<math>h^f</math>) ==

=== Ejemplo 1: Partícula libre en una caja unidimensional ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> libre pero confinada en una caja unidimensional de longitud <math>L</math> (un grado de libertad, <math>f=1</math>).

* '''Caso cuántico:''' Resolviendo la ecuación de Schrödinger con condiciones de contorno de pozo infinito se obtienen los niveles de energía:
#:<math>E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \quad \text{con } n = 1, 2, 3, \dots</math>
#:Para energías macroscópicas elevadas (<math>n \gg 1</math>), el número acumulado de estados con energía menor o igual a <math>E</math> es:
#:<math>N(E) \approx \frac{L\sqrt{2mE}}{\pi\hbar} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{h}</math>
#:donde <math>h = 2\pi\hbar</math>.
* '''Caso clásico:''' El volumen del espacio de fases (un área en este caso de 2D fásico) encerrado por el contorno de energía <math>E</math> es:
#:<math>\Phi(E) = \int_0^L dx \int_{-\sqrt{2mE}}^{\sqrt{2mE}} dp = L \cdot \left[2\sqrt{2mE}\right] = 2L\sqrt{2mE}</math>
* '''Comparación:''' Dividiendo el volumen clásico de fases entre el número de estados cuánticos acumulados:
#:<math>\frac{\Phi(E)}{N(E)} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{\frac{2L\sqrt{2mE}}{h}} = h</math>
#:Esto demuestra que para un grado de libertad (<math>f=1</math>), cada estado cuántico ocupa un volumen elemental de <math>h</math> en el espacio de fases.

=== Ejemplo 2: Oscilador armónico multidimensional en <math>f</math> dimensiones ===
Para un oscilador armónico cuántico en <math>f</math> dimensiones con frecuencias generalizadas <math>\omega_k</math>, el número de estados cuánticos acumulados para energías elevadas viene dado por la expresión:

:<math>N(E) = \frac{1}{f!} \left( \frac{E}{\hbar\tilde{\omega}} \right)^f</math>

donde <math>\tilde{\omega} = \left(\prod_{k=1}^f \omega_k\right)^{1/f}</math>.

Clásicamente, el volumen de fases de este mismo sistema (hipervolumen de dimensión <math>2f</math>) es:

:<math>\Phi(E) = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \frac{1}{f!}</math>

Dividiendo el volumen clásico de fases entre el número cuántico de estados:

:<math>\frac{\Phi(E)}{N(E)} = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \left( \frac{\hbar\tilde{\omega}}{E} \right)^f = (2\pi\hbar)^f = h^f</math>

== Trascendencia en la física estadística ==
Este resultado, generalizable a cualquier sistema físico de <math>f</math> grados de libertad, establece que la celda elemental del espacio de fases que corresponde a un único estado cuántico tiene un volumen de:

:<math>\delta V_{\Gamma} = h^f</math>

Esto proporciona una justificación física fundamental para:
# '''Definición de la traza clásica:''' Al pasar del caso cuántico al límite clásico, el operador traza se transforma en una integral sobre el espacio de fases discretizado:
#:<math>\text{Tr}(\dots) \longrightarrow \frac{1}{N! h^f} \int (\dots) \, d\Gamma</math>
# '''Dimensionalidad de la función de partición:''' La presencia de <math>h^f</math> en el denominador de la integral del espacio de fases clásico cancela la dimensión física del elemento de volumen <math>d\Gamma</math> (el cual tiene unidades de <math>(\text{acción})^f</math>), garantizando que la función de partición clásica <math>\mathcal{Z}_{cla}</math> sea una magnitud adimensional pura, coherente con su contrapartida cuántica.
# '''Definición absoluta de la entropía:''' En física estadística clásica, la entropía clásica sólo estaba definida salvo una constante aditiva arbitraria (debido a la arbitrariedad en la escala de volumen fásico). El cuanto de volumen <math>h^f</math> establece un origen absoluto para la entropía, permitiendo resolver la paradoja de Gibbs de forma natural y ser coherente con el tercer principio de la termodinámica.

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

Función de partición

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Conteo de estados

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Colectivo microcanónico

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