Edición de «Función gamma»

=Definición y conceptos básicos=
La función Gamma (o función Gamma de Euler) es una aplicación que generaliza el concepto del [[Factorial|factorial]] a los reales y complejos, y cuya expresión es la siguiente:

:<math> \Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt </math>

Esta función converge para <math> \forall z \;|\; \text{Re.}\{ z \} \geq 0 </math>, y para <math> \forall z \in \mathbb{R} \;|\; z \notin (- \mathbb{N}) \cup \{ 0 \} </math>.

Para <math> n \in \mathbb{N} </math> podemos establecer la siguiente relación con el factorial:

:<math> \Gamma (n) = (n - 1)! </math>

=Propiedades=
==Recursividad==
Podemos establecer la relación recursiva análoga a del factorial

:<math> n! = n(n-1)! </math>

mediante integración por partes 

:<math> \Gamma (z + 1) = \int_0^\infty t^{z} e^{-t} dt = \left[ -t^z e^{-t} \right]_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt = z \Gamma (z)</math>.

=Aplicaciones a la solución de problemas=
==Física Cuántica==
En algunos problemas encontraremos integrales al estilo de 

:<math> \int dx\; P(x) e^{-f(x)} </math>

donde <math> P(x) </math> es un polinomio

:<math> P(x) = \sum_k a_k x^k </math>

y <math> f(x) </math> es de la forma a <math> \alpha x^n\; | \; \alpha > 0 </math>. Desarrollando la integral original obtenemos (mediante el [[Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue]]). 

:<math> \sum_k a_k \int dx \; x^k e^{\alpha x^n} = \sum_k a_k I_k </math>

donde podemos realizar el cambio de variable <math> t = \alpha x^n</math>

:<math> I_k = \int \frac{dt}{\alpha nx^{n-1}} x^k e^{-t} = \frac{1}{\alpha n}\int dt\; t^{\frac{k-n-1}{n}} e^{-t} = \frac{\Gamma(\frac{k-1}{n})}{\alpha n} </math>

con lo que finalmente llegamos a que

:<math> \int dx\; P(x) e^{f(x)} = \sum_k \frac{a_k}{\alpha n} \Gamma(\frac{k-1}{n}) </math>