Editando Volumen fásico de un estado cuántico (sección)

== Derivación 1: Partícula libre en una caja unidimensional ==

=== Caso cuántico ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> libre pero confinada en una caja unidimensional de longitud <math>L</math> (un grado de libertad, <math>f=1</math>). Su operador [[hamiltoniano cuántico]] es:

:<math>\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} \quad | \quad \hat{p} = -i\hbar \partial_x</math>

La ecuación de autovalores de Schrödinger para este sistema es:

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\psi = E\psi</math>

Imponiendo las condiciones de contorno de que la función de onda se anule en las paredes (<math>\psi(0) = \psi(L) = 0</math>), obtenemos las soluciones del tipo:

:<math>\psi_n(x) = A \sin(k_n x) \quad \text{con} \quad k_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)</math>

Los autovalores de la energía asociados son:

:<math>E_n = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2</math>

Para contar el número de estados cuánticos <math>N_{cuant}(E)</math> con energía menor o igual a <math>E</math> usamos la traza del operador escalón:

:<math>N_{cuant}(E) = \text{Tr} \, \Theta(E - \hat{H}) = \sum_{n} \Theta\left(E - \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 n^2\right)</math>

Para energías macroscópicas muy elevadas (<math>E \gg 1</math>), aproximamos el sumatorio discreto mediante una integral continua:

:<math>N_{cuant}(E) \approx \int_0^{\infty} dn \, \Theta\left(1 - \left(\frac{\hbar\pi}{L}\right)^2 \frac{n^2}{2mE}\right)</math>

Realizando el cambio de variable adimensional <math>x = \frac{\hbar\pi n}{L\sqrt{2mE}} \implies dn = \sqrt{2mE}\left(\frac{L}{\pi\hbar}\right) dx</math>, la integral se simplifica a:

:<math>N_{cuant}(E) = \int_0^1 \sqrt{2mE}\left(\frac{L}{\pi\hbar}\right) dx = \frac{L\sqrt{2mE}}{\pi\hbar} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{h}</math>

donde se ha usado que la constante de Planck clásica es <math>h = 2\pi\hbar</math>.

=== Caso clásico ===
Para el mismo sistema clásico, planteamos el conteo de estados utilizando una constante de normalización fásica <math>C</math> que representa el volumen elemental de un estado:

:<math>N_{clas}(E) = \int \frac{dx \, dp}{C} \, \Theta(E - H(x, p)) = \int \frac{dx \, dp}{C} \, \Theta\left(1 - \frac{p^2}{2mE}\right)</math>

Dado que la posición de la partícula libre está acotada en <math>[0, L]</math> y el momento en el intervalo <math>[-\sqrt{2mE}, \sqrt{2mE}]</math>:

:<math>N_{clas}(E) = \frac{L}{C} \int_{-\sqrt{2mE}}^{\sqrt{2mE}} dp = \frac{2L\sqrt{2mE}}{C}</math>

=== Comparación ===
Para que la descripción cuántica de la física estadística coincida en el límite clásico con la formulación continua, igualamos ambas expresiones (<math>N_{cuant}(E) = N_{clas}(E)</math>):

:<math>\frac{2L\sqrt{2mE}}{h} = \frac{2L\sqrt{2mE}}{C} \implies C = h</math>

Esto demuestra analíticamente que para un sistema con un grado de libertad (<math>f=1</math>), cada estado cuántico ocupa un volumen elemental de tamaño <math>h</math> en el espacio de fases.