Editando Conteo de estados (sección)

=== Ejemplo: Partícula libre en una caja tridimensional ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> encerrada en una caja tridimensional de dimensiones <math>L_x, L_y, L_z</math> con volumen <math>V = L_x L_y L_z</math>. 

Resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria con condiciones de contorno de pozo infinito (la función de onda se anula en las paredes), se obtienen las energías permitidas:

:<math>E(n_x, n_y, n_z) = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)</math>

donde <math>n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \dots</math> son los números cuánticos.

Para calcular <math>N(E)</math> cuando el número de estados es muy grande (límite macroscópico), podemos aproximar la suma discreta por una integral sobre el octante positivo de una elipsoide en el espacio de números cuánticos <math>(n_x, n_y, n_z)</math>, cuyo radio energético es:

:<math>\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2 + \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2 \le \frac{2mE}{\hbar^2\pi^2}</math>

El volumen del octante positivo de esta elipsoide nos da el número de estados acumulados <math>N(E)</math>:

:<math>N(E) \approx \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot L_x L_y L_z \left( \frac{2mE}{\hbar^2 \pi^2} \right)^{3/2} \right) = \frac{V}{6\pi^2} \left( \frac{2mE}{\hbar^2} \right)^{3/2} = \frac{4\pi V}{3 h^3} (2mE)^{3/2}</math>

donde <math>h = 2\pi\hbar</math>. 

Derivando respecto a <math>E</math>, obtenemos la densidad de estados cuántica para una partícula en 3D:

:<math>\sigma(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{2\pi V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2}</math>

Esta dependencia en raíz cuadrada de la energía (<math>E^{1/2}</math>) es una propiedad característica de la densidad de estados para partículas libres en sistemas de tres dimensiones.