Edición de «Colectivo microcanónico»

El '''colectivo microcanónico''' (o colectividad microcanónica) es el formalismo de la [[mecánica estadística]] que describe a un '''sistema aislado''' en equilibrio térmico. Un sistema aislado no intercambia energía, volumen ni número de partículas con su entorno; por lo tanto, la energía total <math>E</math>, el volumen <math>V</math> y el número de partículas <math>N</math> se mantienen estrictamente constantes.

== Postulado fundamental ==
El colectivo microcanónico se basa en el '''postulado de igual probabilidad a priori''':
<blockquote>
'''Postulado:''' Para un sistema aislado en equilibrio térmico, todos los microestados accesibles compatibles con las restricciones macroscópicas impuestas al sistema (mismo <math>E</math>, <math>V</math>, <math>N</math>) tienen exactamente la misma probabilidad de ser ocupados.
</blockquote>

== Formulación en física clásica ==
En mecánica estadística clásica, el estado microscópico de un sistema de <math>N</math> partículas con <math>f</math> grados de libertad se representa como un punto <math>\Gamma = (q, p)</math> en el [[espacio de fases]] continuo de <math>2f</math> dimensiones.

Puesto que la energía del sistema está fijada exactamente en el valor <math>E</math>, la [[densidad de probabilidad]] en el equilibrio, <math>\rho_{eq}(\Gamma)</math>, debe anularse en todo el espacio de fases excepto en la hipersuperficie de energía constante definida por el [[hamiltoniano]] clásico <math>H(\Gamma) = E</math>:

:<math>\rho_{eq}(\Gamma) = \frac{\delta(E - H(\Gamma))}{\sigma_{cla}(E)}</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]] y <math>\sigma_{cla}(E)</math> es la densidad de estados clásica que actúa como constante de normalización:

:<math>\sigma_{cla}(E) = \int \delta(E - H(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

=== Formulación con corteza de energía ===
Dado que físicamente una energía exacta es una idealización matemática, se suele definir el colectivo considerando una pequeña incertidumbre de energía <math>\Delta E</math> (donde <math>\Delta E \ll E</math>). La densidad de probabilidad se distribuye uniformemente en la corteza fásica correspondiente al intervalo <math>[E, E + \Delta E]</math>:

:<math>\rho_{eq}(\Gamma) = \begin{cases} \frac{1}{\Omega_{cla}} & \text{si } H(\Gamma) \in [E, E + \Delta E] \\ 0 & \text{si } H(\Gamma) \notin [E, E + \Delta E] \end{cases}</math>

donde <math>\Omega_{cla}</math> es el volumen de la corteza en el espacio de fases:

:<math>\Omega_{cla} = \Phi(E + \Delta E) - \Phi(E) \approx \sigma_{cla}(E)\Delta E</math>

siendo <math>\Phi(E)</math> el [[volumen de fases]] acumulado.

== Formulación en física estadística cuántica ==
En mecánica cuántica, los niveles de energía de un sistema confinado son discretos. Denotamos por <math>|n, d\rangle</math> los autoestados del [[hamiltoniano cuántico]] <math>\hat{H}</math>, con autoenergía <math>E_n</math> y donde <math>d \in [1, g_n]</math> representa el índice de degeneración del nivel de energía <math>g_n</math>.

El número de estados cuánticos accesibles en el rango de energías de la corteza <math>[E, E + \Delta E]</math> es:

:<math>\Omega = \sum_{n: E_n \in [E, E+\Delta E]} g_n = \text{Tr}\left[ \Theta(E + \Delta E - \hat{H}) - \Theta(E - \hat{H}) \right]</math>

La probabilidad de ocupar un estado individual <math>|n, d\rangle</math> en el equilibrio es constante para los estados dentro del rango permitido y nula para los demás:

:<math>P_{nd} = \begin{cases} \frac{1}{\Omega} & \text{si } E_n \in [E, E + \Delta E] \\ 0 & \text{en cualquier otro caso} \end{cases}</math>

=== Operador densidad microcanónico ===
El estado cuántico global del sistema se describe por el '''operador densidad de probabilidad microcanónico''':

:<math>\hat{\rho}_{eq} = \frac{1}{\Omega} \sum_{n: E_n \in [E, E+\Delta E]} |n, d\rangle\langle n, d| = \frac{1}{\Omega} \left[ \Theta(E + \Delta E - \hat{H}) - \Theta(E - \hat{H}) \right]</math>

Para que este operador esté bien definido, el ancho de la corteza de energía <math>\Delta E</math> debe ser mucho mayor que el espaciamiento medio entre niveles sucesivos (<math>\Delta E \gg \langle E_{n+1} - E_n \rangle</math>), de modo que contenga un número estadísticamente representativo de estados. En el límite formal <math>\Delta E \to 0</math>, el operador densidad se expresa como:

:<math>\hat{\rho}_{eq} = \frac{\delta(E - \hat{H})}{\sigma(E)}</math>

donde <math>\sigma(E) = \text{Tr}[\delta(E - \hat{H})]</math> es la densidad cuántica de estados.

== Valores medios de observables ==
Para cualquier magnitud física <math>A</math> (clásica <math>A(\Gamma)</math> o cuántica <math>\hat{A}</math>), su valor medio en el colectivo microcanónico viene dado por:

* '''Clásico:'''
:<math>\langle A \rangle = \int A(\Gamma) \rho_{eq}(\Gamma) \, d\Gamma = \frac{1}{\sigma_{cla}(E)} \int A(\Gamma) \delta(E - H(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

* '''Cuántico:'''
:<math>\langle \hat{A} \rangle = \text{Tr}(\hat{A}\hat{\rho}_{eq}) = \frac{\text{Tr}[\hat{A}\delta(E - \hat{H})]}{\sigma(E)}</math>

== Conexión termodinámica y entropía ==
La conexión del colectivo microcanónico con la termodinámica clásica se establece mediante la relación fundamental de Boltzmann para la entropía:

:<math>S(E, V, N) = k_B \ln \Omega</math>

donde <math>\Omega</math> es el número de estados microscópicos compatibles con las variables macroscópicas. 

=== Ejemplo clásico: Gas ideal y la ecuación de Sackur-Tetrode ===
Para un gas ideal clásico de <math>N</math> partículas indistinguibles en un volumen <math>V</math>, el número de estados accesibles clásicamente en la corteza <math>[E, E+\Delta E]</math> es:

:<math>\Omega(E) \approx \sigma_{cla}(E) \Delta E = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} \frac{\Delta E}{E}</math>

Aplicando la [[aproximación de Stirling]] (<math>\ln N! \approx N \ln N - N</math> y <math>\ln \Gamma(3N/2) \approx \frac{3N}{2} \ln \frac{3N}{2} - \frac{3N}{2}</math>) en el límite termodinámico (<math>N \gg 1</math>), los términos de orden inferior como <math>\ln(\Delta E/E)</math> se vuelven despreciables frente a los proporcionales a <math>N</math>. La entropía del sistema resulta en:

:<math>S = N k_B \left[ \ln \left( \frac{V}{N} \left( \frac{4\pi m E}{3N h^2} \right)^{3/2} \right) + \frac{5}{2} \right]</math>

Esta es la célebre '''ecuación de Sackur-Tetrode'''. La obtención de esta fórmula ilustra dos aspectos cruciales de la física estadística clásica:
# '''La paradoja de Gibbs:''' La inclusión del factor corrector <math>1/N!</math> es indispensable para garantizar que la entropía sea una variable extensiva (es decir, que al duplicar <math>N</math>, <math>V</math> y <math>E</math>, la entropía <math>S</math> también se duplique). Sin este factor, la entropía presentaría un término no extensivo físicamente incorrecto.
# '''El límite clásico de la constante de Planck:''' La constante de Planck <math>h</math> aparece de forma natural como el volumen del cuanto fásico elemental por grado de libertad (<math>h^{3N}</math>), lo cual proporciona un origen absoluto para la entropía, resolviendo la indeterminación clásica y siendo congruente con el tercer principio de la termodinámica.

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

{{Física Estadística}}