Edición de «Conteo de estados»

El '''conteo de estados''' en [[mecánica estadística]] es el procedimiento matemático para determinar el número de estados cuánticos discretos o el volumen fásico clásico disponible para un sistema bajo restricciones físicas dadas (como energía, volumen y número de partículas). Representa el pilar sobre el cual se construyen los potenciales termodinámicos a partir de la física microscópica.

== Caso cuántico ==
En mecánica cuántica, para un sistema confinado en un volumen macroscópico, el espectro de energías de su hamiltoniano <math>\hat{H}</math> es discreto. Denotamos los niveles de energía por <math>E_n</math> y su degeneración por <math>g_n</math>.

=== Número acumulado de estados <math>N(E)</math> ===
Representa el número total de autoestados cuánticos cuya energía es menor o igual a <math>E</math>:

:<math>N(E) = \sum_{n: E_n \le E} g_n = \text{Tr}[\Theta(E - \hat{H})]</math>

donde <math>\Theta(x)</math> es la [[función escalón de Heaviside]].

=== Densidad de estados <math>\sigma(E)</math> ===
La densidad de estados <math>\sigma(E)</math> (a veces denotada por <math>g(E)</math> o <math>D(E)</math>) representa el número de estados por unidad de energía a la energía <math>E</math>. Se define formalmente como la derivada del número acumulado de estados:

:<math>\sigma(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \sum_{n} g_n \delta(E - E_n) = \text{Tr}[\delta(E - \hat{H})]</math>

donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]].

=== Ejemplo: Partícula libre en una caja tridimensional ===
Consideremos una partícula de masa <math>m</math> encerrada en una caja tridimensional de dimensiones <math>L_x, L_y, L_z</math> con volumen <math>V = L_x L_y L_z</math>. 

Resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria con condiciones de contorno de pozo infinito (la función de onda se anula en las paredes), se obtienen las energías permitidas:

:<math>E(n_x, n_y, n_z) = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)</math>

donde <math>n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \dots</math> son los números cuánticos.

Para calcular <math>N(E)</math> cuando el número de estados es muy grande (límite macroscópico), podemos aproximar la suma discreta por una integral sobre el octante positivo de una elipsoide en el espacio de números cuánticos <math>(n_x, n_y, n_z)</math>, cuyo radio energético es:

:<math>\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2 + \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2 \le \frac{2mE}{\hbar^2\pi^2}</math>

El volumen del octante positivo de esta elipsoide nos da el número de estados acumulados <math>N(E)</math>:

:<math>N(E) \approx \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi \cdot L_x L_y L_z \left( \frac{2mE}{\hbar^2 \pi^2} \right)^{3/2} \right) = \frac{V}{6\pi^2} \left( \frac{2mE}{\hbar^2} \right)^{3/2} = \frac{4\pi V}{3 h^3} (2mE)^{3/2}</math>

donde <math>h = 2\pi\hbar</math>. 

Derivando respecto a <math>E</math>, obtenemos la densidad de estados cuántica para una partícula en 3D:

:<math>\sigma(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{2\pi V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2}</math>

Esta dependencia en raíz cuadrada de la energía (<math>E^{1/2}</math>) es una propiedad característica de la densidad de estados para partículas libres en sistemas de tres dimensiones.

== Caso clásico ==
En física clásica, el estado del sistema es continuo y viene descrito en el [[espacio de fases]]. De acuerdo con el principio de correspondencia, cada estado cuántico ocupa un volumen fásico elemental de tamaño <math>h^f</math>, donde <math>f</math> es el número de grados de libertad.

Para un sistema clásico con <math>f</math> grados de libertad y partículas idénticas:

* '''Número clásico de estados acumulados:'''
:<math>N_{cla}(E) = \frac{1}{N! h^f} \int \Theta(E - H_{cla}(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

* '''Densidad clásica de estados:'''
:<math>\sigma_{cla}(E) = \frac{1}{N! h^f} \int \delta(E - H_{cla}(\Gamma)) \, d\Gamma</math>

donde <math>d\Gamma = d^f q \, d^f p</math> es la medida de volumen clásica en el espacio de fases, y el factor de escala <math>1/N!</math> es la corrección clásica por la indistinguibilidad de las partículas.

== Límite termodinámico ==
Para un sistema macroscópico con <math>N \sim 10^{23}</math> partículas, tanto el número acumulado de estados <math>N(E)</math> como la densidad de estados <math>\sigma(E)</math> son funciones que crecen de forma extraordinariamente rápida con la energía (típicamente del orden de <math>E^{f}</math> con <math>f \gg 1</math>). Debido a esta dependencia de potencia extrema, la entropía del sistema definida en cualquiera de estas magnitudes coincide de forma exacta en el límite termodinámico:

:<math>S = k_B \ln \Omega \approx k_B \ln N(E) \approx k_B \ln \sigma(E)</math>

Las variaciones debidas a los factores de escala de energía son despreciables frente a la magnitud total de la entropía, que escala linealmente con el número de partículas <math>N</math> (propiedad extensiva).

[[Categoría:Mecánica Estadística]]

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