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	La '''función de partición''' (~~generalmente~~ denotada por <math>\mathcal{Z}</math>) es una magnitud adimensional ~~fundamental~~ en la [[mecánica estadística]]. ~~En el~~ formalismo del [[colectivo canónico]], representa la suma de los factores de Boltzmann sobre todos los ~~microestados~~ posibles del sistema. ~~Actúa~~ como ~~el factor~~ de normalización de la distribución de probabilidad canónica y contiene toda la información ~~termodinámica del sistema~~.		La '''función de partición''' (habitualmente denotada por <math>\mathcal{Z}</math>) es una magnitud adimensional matemática que desempeña un papel central en la [[mecánica estadística]]. Dentro del formalismo del [[colectivo canónico]], representa la suma de los factores de Boltzmann sobre todos los estados microscópicos posibles del sistema. Sirve como la constante de normalización de la distribución de probabilidad canónica y contiene toda la información necesaria para derivar las variables termodinámicas macroscópicas.

	== Definición matemática ==		== Definición matemática ==

	=== Caso cuántico ===		=== Caso cuántico ===
	Para un sistema cuántico en equilibrio con un baño térmico a temperatura <math>T</math> (y temperatura inversa <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math>), la función de partición ~~se define como la suma~~ de los pesos de Boltzmann de todos los niveles de energía del sistema:		Para un sistema cuántico en equilibrio térmico con un baño térmico a temperatura <math>T</math> (con temperatura inversa <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math>), la función de partición es el sumatorio de los pesos de Boltzmann de todos los niveles de energía del sistema:

	:<math>\mathcal{Z} = \sum_{n} g_n e^{-\beta E_n}</math>		:<math>\mathcal{Z} = \sum_{n} g_n e^{-\beta E_n}</math>

	donde <math>E_n</math> son los autovalores de la energía del sistema y <math>g_n</math> ~~es la~~ degeneración ~~de cada nivel~~. ~~Utilizando~~ la formulación de operadores en mecánica cuántica, se ~~puede expresar independientemente~~ de la base como la [[traza]] ~~del operador estadístico~~ en el espacio de Hilbert:		donde <math>E_n</math> son los autovalores de la energía del sistema y <math>g_n</math> representa su respectiva degeneración. En la formulación de operadores de la mecánica cuántica, esta suma se expresa de forma elegante e independiente de la base como la [[traza]] de la matriz de densidad no normalizada en el espacio de Hilbert:

	:<math>\mathcal{Z} = \text{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)</math>		:<math>\mathcal{Z} = \text{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)</math>

	donde <math>\hat{H}</math> es el operador hamiltoniano ~~del sistema~~.		donde <math>\hat{H}</math> es el operador hamiltoniano.

	=== Caso clásico ===		=== Caso clásico ===
	En mecánica ~~estadística~~ clásica, el espacio de estados es continuo y la función de partición se calcula como una integral sobre todo el [[espacio de fases]] <math>\Gamma</math>:		En mecánica clásica, donde el espacio de estados es continuo, la función de partición se calcula como una integral sobre todo el [[espacio de fases]] <math>\Gamma</math> escalada por el cuanto de volumen fásico elemental <math>h^f</math>:

	:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N! h^f} \int e^{-\beta H_{cla}(\Gamma)} \, d\Gamma</math>		:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N! h^f} \int e^{-\beta H_{cla}(\Gamma)} \, d\Gamma</math>

	donde <math>f</math> es el número ~~total~~ de grados de libertad, <math>h</math> es la constante de Planck, y el factor de indistinguibilidad <math>\frac{1}{N!}</math> ~~se incluye únicamente si~~ el ~~sistema está compuesto por partículas idénticas~~.		donde <math>f</math> es el número de grados de libertad, <math>h</math> es la constante de Planck, y <math>1/N!</math> es el factor corrector de Gibbs para partículas indistinguibles.

			== Ejemplos fundamentales de aplicación ==

			=== 1. Qubit independiente en un baño térmico ===
			Consideremos el sistema cuántico más sencillo posible: un sistema de dos niveles de energía (un qubit) no degenerado, con energías <math>E_0 = 0</math> (estado fundamental) y <math>E_1 = \epsilon</math> (estado excitado).

			La función de partición para este qubit es:

			:<math>\mathcal{Z} = e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \epsilon} = 1 + e^{-\beta \epsilon}</math>

			A partir de esta función de partición, podemos calcular:
			* '''Probabilidad de ocupación de los estados:'''
			#:<math>P_0 = \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}}, \quad P_1 = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}</math>
			* '''Energía media del sistema <math>\langle E \rangle</math>:'''
			#:<math>\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}} = \frac{\epsilon}{e^{\beta \epsilon} + 1}</math>

			=== 2. Gas ideal clásico de partículas indistinguibles ===
			Consideremos un gas ideal clásico constituido por <math>N</math> partículas idénticas de masa <math>m</math> confinadas en un volumen <math>V</math>. El hamiltoniano clásico del sistema es <math>H(\Gamma) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\vec{p}_i^2}{2m}</math>.

			Dado que las partículas no interactúan, la función de partición total del sistema se factoriza en el producto de las funciones de partición de una sola partícula (<math>\mathcal{Z}_1</math>), corregidas por el factor <math>1/N!</math> debido a su indistinguibilidad:

			:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N!} (\mathcal{Z}_1)^N</math>

			La función de partición monoparticular <math>\mathcal{Z}_1</math> es:

			:<math>\mathcal{Z}_1 = \frac{1}{h^3} \int_V d^3 r \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} d^3 p = \frac{V}{h^3} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p_x^2}{2m}} dp_x \right)^3</math>

			La integral sobre el momento es una integral gaussiana clásica cuyo valor es <math>\sqrt{2\pi m k_B T}</math>. Por lo tanto:

			:<math>\mathcal{Z}_1 = V \left( \frac{2\pi m k_B T}{h^2} \right)^{3/2} = \frac{V}{\lambda_{th}^3}</math>

			donde <math>\lambda_{th} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}</math> es la '''longitud de onda térmica de de Broglie'''. La función de partición clásica total del gas ideal es:

			:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N!} \left( \frac{V}{\lambda_{th}^3} \right)^N</math>

	== Conexión con la termodinámica ==		== Conexión con la termodinámica ==
	La función de partición es la ~~pasarela~~ directa entre la ~~descripción microscópica~~ y ~~el comportamiento termodinámico macroscópico.~~		La función de partición constituye la conexión directa entre la mecánica estadística y las propiedades macroscópicas:

	# '''Energía libre de Helmholtz (<math>F</math>)'''~~: El potencial termodinámico natural del colectivo canónico se relaciona de manera directa con <math>\mathcal{Z}</math>~~:		# '''Energía libre de Helmholtz (<math>F</math>)''':
	#:<math>F(T, V, N) = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math>		#:<math>F(T, V, N) = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math>
	# '''Energía interna (<math>E~~</math> o <math>\langle H \rangle~~</math>)'''~~: El promedio estadístico de la energía del sistema se calcula como~~:		#:Para el gas ideal, aplicando la aproximación de Stirling:
			#:<math>F \approx -k_B T \left[ N \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + N \right] = -N k_B T \left[ \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + 1 \right]</math>
			# '''Energía interna (<math>E</math>)''':
	#:<math>E = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = k_B T^2 \frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial T}</math>		#:<math>E = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = k_B T^2 \frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial T}</math>
	# '''Entropía (<math>S</math>)''': ~~Se puede calcular a partir de la energía libre como~~ <math>S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V, N}~~</math>, lo que da:~~		#:Para el gas ideal esto da <math>E = \frac{3}{2} N k_B T</math>, recuperando el teorema de equipartición.
	~~#:<math>S~~ = k_B \ln \mathcal{Z} + \frac{E}{T} ~~= -k_B \text{Tr}\left(\hat{\rho} \ln \hat{\rho}\right)~~</math>		# '''Entropía (<math>S</math>)''':
	#:~~donde~~ <math>\~~hat{~~\~~rho} =~~ \frac{e^{~~-\beta~~ \~~hat~~{H}}}{\~~mathcal~~{Z}}</math> ~~es el operador densidad canónico. Esta última relación se conoce como la '''entropía de Von Neumann'''.~~		#:<math>S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V, N} = k_B \ln \mathcal{Z} + \frac{E}{T}</math>
	# '''Presión (<math>p</math>)''':		#:Que para el gas ideal clásico reproduce de forma exacta la '''ecuación de Sackur-Tetrode''':
	#:<math>p ~~= -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T, N}~~ = k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial V}\right)_{T, N} = ~~-\left~~\~~langle~~ \~~frac~~{~~\partial \hat{H}~~}~~{\partial V} \right\rangle~~</math>		#:<math>S = N k_B \left[ \ln\left( \frac{V}{N \lambda_{th}^3} \right) + \frac{5}{2} \right]</math>
	~~# '''Potencial químico (<math>\mu_k</math>)''':~~		# '''Presión (<math>p</math>) y Potencial químico (<math>\mu</math>)''':
	#:<math>\~~mu_k = \left(\frac{\partial F}{\partial N_k}\right)_{T, V}~~ = -k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial ~~N_k~~}\right)_{T, V} = -\left~~\langle~~ \frac{\~~partial \hat~~{H}}{~~\partial N_k~~} \right~~\rangle~~</math>		#:<math>p = k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial V}\right)_{T, N} \implies pV = N k_B T \quad \text{(Ecuación de estado del gas ideal)}</math>
			#:<math>\mu = -k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial N}\right)_{T, V} = k_B T \ln\left( \frac{N \lambda_{th}^3}{V} \right)</math>

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La '''función de partición''' (generalmente denotada por <math>\mathcal{Z}</math>) es una magnitud adimensional fundamental en la [[mecánica estadística]]. En el formalismo del [[colectivo canónico]], representa la suma de los factores de Boltzmann sobre todos los microestados posibles del sistema. Actúa como el factor de normalización de la distribución de probabilidad canónica y contiene toda la información termodinámica del sistema.

== Definición matemática ==

=== Caso cuántico ===
Para un sistema cuántico en equilibrio con un baño térmico a temperatura <math>T</math> (y temperatura inversa <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math>), la función de partición se define como la suma de los pesos de Boltzmann de todos los niveles de energía del sistema:

:<math>\mathcal{Z} = \sum_{n} g_n e^{-\beta E_n}</math>

donde <math>E_n</math> son los autovalores de la energía del sistema y <math>g_n</math> es la degeneración de cada nivel. Utilizando la formulación de operadores en mecánica cuántica, se puede expresar independientemente de la base como la [[traza]] del operador estadístico en el espacio de Hilbert:

:<math>\mathcal{Z} = \text{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)</math>

donde <math>\hat{H}</math> es el operador hamiltoniano del sistema.

=== Caso clásico ===
En mecánica estadística clásica, el espacio de estados es continuo y la función de partición se calcula como una integral sobre todo el [[espacio de fases]] <math>\Gamma</math>:

:<math>\mathcal{Z}_{cla} = \frac{1}{N! h^f} \int e^{-\beta H_{cla}(\Gamma)} \, d\Gamma</math>

donde <math>f</math> es el número total de grados de libertad, <math>h</math> es la constante de Planck, y el factor de indistinguibilidad <math>\frac{1}{N!}</math> se incluye únicamente si el sistema está compuesto por partículas idénticas.

== Conexión con la termodinámica ==
La función de partición es la pasarela directa entre la descripción microscópica y el comportamiento termodinámico macroscópico.

# '''Energía libre de Helmholtz (<math>F</math>)''': El potencial termodinámico natural del colectivo canónico se relaciona de manera directa con <math>\mathcal{Z}</math>:
#:<math>F(T, V, N) = -k_B T \ln \mathcal{Z}</math>
# '''Energía interna (<math>E</math> o <math>\langle H \rangle</math>)''': El promedio estadístico de la energía del sistema se calcula como:
#:<math>E = -\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial \beta} = k_B T^2 \frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial T}</math>
# '''Entropía (<math>S</math>)''': Se puede calcular a partir de la energía libre como <math>S = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V, N}</math>, lo que da:
#:<math>S = k_B \ln \mathcal{Z} + \frac{E}{T} = -k_B \text{Tr}\left(\hat{\rho} \ln \hat{\rho}\right)</math>
#:donde <math>\hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{\mathcal{Z}}</math> es el operador densidad canónico. Esta última relación se conoce como la '''entropía de Von Neumann'''.
# '''Presión (<math>p</math>)''':
#:<math>p = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T, N} = k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial V}\right)_{T, N} = -\left\langle \frac{\partial \hat{H}}{\partial V} \right\rangle</math>
# '''Potencial químico (<math>\mu_k</math>)''':
#:<math>\mu_k = \left(\frac{\partial F}{\partial N_k}\right)_{T, V} = -k_B T \left(\frac{\partial \ln \mathcal{Z}}{\partial N_k}\right)_{T, V} = -\left\langle \frac{\partial \hat{H}}{\partial N_k} \right\rangle</math>

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