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Eloy-ms: Artículo de Volumen de fases altamente pulido con Teorema de Liouville y gas ideal

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Artículo de Volumen de fases altamente pulido con Teorema de Liouville y gas ideal

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En [[física clásica]] y [[mecánica estadística]], el '''volumen de fases''' (o volumen fásico), denotado comúnmente por <math>\Phi(E)</math>, representa el hipervolumen de la región del [[espacio de fases]] cuyos estados microscópicos tienen una energía menor o igual que un valor dado <math>E</math>.

== Definición matemática ==
Para un sistema físico clásico con <math>f</math> grados de libertad, el estado del sistema en un instante dado queda determinado por sus coordenadas generalizadas <math>q = (q_1, q_2, \dots, q_f)</math> y sus momentos conjugados <math>p = (p_1, p_2, \dots, p_f)</math>. El espacio de fases es un espacio continuo de <math>2f</math> dimensiones.

El volumen de fases <math>\Phi(E)</math> se define mediante la integral sobre todo el espacio de fases restringida por la función hamiltoniana clásica del sistema <math>H(q, p) \le E</math>:

:<math>\Phi(E) = \int_{H(q,p) \le E} dq_1 dp_1 \dots dq_f dp_f = \int \Theta(E - H(q, p)) \, dq_1 dp_1 \dots dq_f dp_f</math>

donde <math>\Theta(x)</math> es la [[función escalón de Heaviside]].

== Relación con el número y la densidad de estados ==
El volumen fásico es una función monótonamente creciente de la energía. A partir de él se pueden definir dos magnitudes fundamentales para la estadística clásica:

# '''Densidad de estados (<math>\sigma(E)</math>)''': Representa el número de estados por unidad de energía en la superficie de energía constante <math>E</math>. Se obtiene como la derivada del volumen de fases respecto a la energía:
#:<math>\sigma(E) = \frac{d\Phi(E)}{dE} = \int \delta(E - H(q, p)) \, dq_1 dp_1 \dots dq_f dp_f</math>
#:donde <math>\delta(x)</math> es la [[delta de Dirac]].
# '''Número de estados en una corteza de energía (<math>\Omega(E)</math>)''': Si se considera una corteza de energía de ancho <math>\Delta E</math> (donde <math>\Delta E \ll E</math>), el número de estados microscópicos contenidos en ella en el límite clásico viene dado por:
#:<math>\Omega(E) \approx \sigma(E) \Delta E</math>

== Ejemplo: Oscilador armónico clásico en <math>f</math> dimensiones ==
Consideremos un oscilador armónico clásico en <math>f</math> dimensiones con hamiltoniano:

:<math>H(q, p) = \sum_{k=1}^{f} \left( \frac{p_k^2}{2m} + \frac{m\omega_k^2}{2} q_k^2 \right)</math>

El volumen fásico <math>\Phi(E)</math> es:

:<math>\Phi(E) = \int \dots \int \Theta\left(E - \sum_{k=1}^{f} \left( \frac{p_k^2}{2m} + \frac{m\omega_k^2}{2} q_k^2 \right)\right) dq_1 dp_1 \dots dq_f dp_f</math>

Realizando los siguientes cambios de variable adimensionales:

:<math>\mu_k = \sqrt{\frac{m\omega_k^2}{2E}} q_k \quad \text{y} \quad \xi_k = \sqrt{\frac{1}{2mE}} p_k</math>

El diferencial de volumen se transforma en:

:<math>dq_k dp_k = \frac{2E}{\omega_k} d\mu_k d\xi_k</math>

Sustituyendo estos cambios, la integral se reduce a:

:<math>\Phi(E) = \left( \frac{2E}{\tilde{\omega}} \right)^f \int \dots \int \Theta\left(1 - \sum_{k=1}^{f} (\mu_k^2 + \xi_k^2)\right) d\mu_1 d\xi_1 \dots d\mu_f d\xi_f</math>

donde <math>\tilde{\omega} = \left(\prod_{k=1}^f \omega_k\right)^{1/f}</math> es la media geométrica de las frecuencias. Esta integral representa el hipervolumen de una hiperesfera unitaria de dimensión <math>2f</math>, cuyo valor es:

:<math>V_{2f} = \frac{\pi^f}{\Gamma(f+1)} = \frac{\pi^f}{f!}</math>

Por lo tanto, obtenemos finalmente la expresión para el volumen fásico de un oscilador armónico multidimensional clásico:

:<math>\Phi(E) = \left( \frac{2\pi E}{\tilde{\omega}} \right)^f \frac{1}{f!}</math>

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Volumen de fases - Historial de revisiones

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