Conteo de estados
El conteo de estados en mecánica estadística es el procedimiento matemático para determinar el número de estados cuánticos discretos o el volumen fásico clásico disponible para un sistema bajo restricciones físicas dadas (como energía, volumen y número de partículas). Representa el pilar sobre el cual se construyen los potenciales termodinámicos a partir de la física microscópica.
Caso cuántico
En mecánica cuántica, para un sistema confinado en un volumen macroscópico, el espectro de energías de su hamiltoniano es discreto. Denotamos los niveles de energía por y su degeneración por .
Número acumulado de estados
Representa el número total de autoestados cuánticos cuya energía es menor o igual a :
donde es la función escalón de Heaviside.
Densidad de estados
La densidad de estados (a veces denotada por o ) representa el número de estados por unidad de energía a la energía . Se define formalmente como la derivada del número acumulado de estados:
donde es la delta de Dirac.
Ejemplo: Partícula libre en una caja tridimensional
Consideremos una partícula de masa encerrada en una caja tridimensional de dimensiones con volumen .
Resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria con condiciones de contorno de pozo infinito (la función de onda se anula en las paredes), se obtienen las energías permitidas:
donde son los números cuánticos.
Para calcular cuando el número de estados es muy grande (límite macroscópico), podemos aproximar la suma discreta por una integral sobre el octante positivo de una elipsoide en el espacio de números cuánticos , cuyo radio energético es:
El volumen del octante positivo de esta elipsoide nos da el número de estados acumulados :
donde .
Derivando respecto a , obtenemos la densidad de estados cuántica para una partícula en 3D:
Esta dependencia en raíz cuadrada de la energía () es una propiedad característica de la densidad de estados para partículas libres en sistemas de tres dimensiones.
Caso clásico
En física clásica, el estado del sistema es continuo y viene descrito en el espacio de fases. De acuerdo con el principio de correspondencia, cada estado cuántico ocupa un volumen fásico elemental de tamaño , donde es el número de grados de libertad.
Para un sistema clásico con grados de libertad y partículas idénticas:
- Número clásico de estados acumulados:
- Densidad clásica de estados:
donde es la medida de volumen clásica en el espacio de fases, y el factor de escala es la corrección clásica por la indistinguibilidad de las partículas.
Límite termodinámico
Para un sistema macroscópico con partículas, tanto el número acumulado de estados como la densidad de estados son funciones que crecen de forma extraordinariamente rápida con la energía (típicamente del orden de con ). Debido a esta dependencia de potencia extrema, la entropía del sistema definida en cualquiera de estas magnitudes coincide de forma exacta en el límite termodinámico:
Las variaciones debidas a los factores de escala de energía son despreciables frente a la magnitud total de la entropía, que escala linealmente con el número de partículas (propiedad extensiva).