Función gamma

Definición y conceptos básicos

La función Gamma (o función Gamma de Euler) es una aplicación que generaliza el concepto del factorial a los reales y complejos, y cuya expresión es la siguiente:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

Esta función converge para $\forall z\;|\;{\text{Re.}}\{z\}\geq 0$, y para $\forall z\in \mathbb {R} \;|\;z\notin (-\mathbb {N} )\cup \{0\}$.

Para $n\in \mathbb {N}$ podemos establecer la siguiente relación con el factorial:

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Propiedades

Recursividad

Podemos establecer la relación recursiva análoga a del factorial

$n!=n(n-1)!$

mediante integración por partes

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma (z)$.

Aplicaciones a la solución de problemas

Física Cuántica

En algunos problemas encontraremos integrales al estilo de

$\int dx\;P(x)e^{f(x)}$