Función gamma

Definición y conceptos básicos

La función Gamma (o función Gamma de Euler) es una aplicación que generaliza el concepto del factorial a los reales y complejos, y cuya expresión es la siguiente:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

Esta función converge para $\forall z\;|\;{\text{Re.}}\{z\}\geq 0$, y para $\forall z\in \mathbb {R} \;|\;z\notin (-\mathbb {N} )\cup \{0\}$.

Para $n\in \mathbb {N}$ podemos establecer la siguiente relación con el factorial:

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Propiedades

Recursividad

Podemos establecer la relación recursiva análoga a del factorial

$n!=n(n-1)!$

mediante integración por partes

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma (z)$.

Aplicaciones a la solución de problemas

Física Cuántica

En algunos problemas encontraremos integrales al estilo de

$\int dx\;P(x)e^{-f(x)}$

donde $P(x)$ es un polinomio

$P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}$

y $f(x)$ es de la forma a $\alpha x^{n}\;|\;\alpha >0$. Desarrollando la integral original obtenemos (mediante el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue).

$\sum _{k}a_{k}\int dx\;x^{k}e^{\alpha x^{n}}=\sum _{k}a_{k}I_{k}$

donde podemos realizar el cambio de variable $t=\alpha x^{n}$

$I_{k}=\int {\frac {dt}{\alpha nx^{n-1}}}x^{k}e^{-t}={\frac {1}{\alpha n}}\int dt\;t^{\frac {k-n-1}{n}}e^{-t}={\frac {\Gamma ({\frac {k-1}{n}})}{\alpha n}}$

con lo que finalmente llegamos a que

$\int dx\;P(x)e^{f(x)}=\sum _{k}{\frac {a_{k}}{\alpha n}}\Gamma ({\frac {k-1}{n}})$