Diferencia entre revisiones de «Función gamma»
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:<math> \int dx\; P(x) e^{f(x)} </math> | :<math> \int dx\; P(x) e^{f(x)} </math> | ||
donde <math> P(x) < | donde <math> P(x) </math> es un polinomio | ||
:<math> P(x) = \sum_k a_k x^k < | :<math> P(x) = \sum_k a_k x^k </math> | ||
y <math> f(x) < | y <math> f(x) </math> es de la forma a <math> -\alpha x^n\; | \; \alpha > 0 </math>. Desarrollando la integral original obtenemos (mediante el [[Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue]]). | ||
:<math> \sum_k a_k \int dx \; x^k e^{\alpha x^n} = \sum_k a_k I_k < | :<math> \sum_k a_k \int dx \; x^k e^{\alpha x^n} = \sum_k a_k I_k </math> | ||
donde podemos realizar el cambio de variable <math> t = \alpha x^n< | donde podemos realizar el cambio de variable <math> t = \alpha x^n</math> | ||
:<math> I_k = \int \frac{dt}{\alpha nx^{n-1}} x^k e^{-t} = \frac{1}{\alpha n}\int dt\; t^{\frac{k-n-1}{n}} e^{-t} = \frac{\Gamma(\frac{k-1}{n})}{\alpha n} < | :<math> I_k = \int \frac{dt}{\alpha nx^{n-1}} x^k e^{-t} = \frac{1}{\alpha n}\int dt\; t^{\frac{k-n-1}{n}} e^{-t} = \frac{\Gamma(\frac{k-1}{n})}{\alpha n} </math> | ||
Revisión del 18:38 2 jul 2026
Definición y conceptos básicos
La función Gamma (o función Gamma de Euler) es una aplicación que generaliza el concepto del factorial a los reales y complejos, y cuya expresión es la siguiente:
Esta función converge para , y para .
Para podemos establecer la siguiente relación con el factorial:
Propiedades
Recursividad
Podemos establecer la relación recursiva análoga a del factorial
mediante integración por partes
- .
Aplicaciones a la solución de problemas
Física Cuántica
En algunos problemas encontraremos integrales al estilo de
donde es un polinomio
y es de la forma a . Desarrollando la integral original obtenemos (mediante el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue).
donde podemos realizar el cambio de variable