Volumen fásico de un estado cuántico

El volumen fásico que ocupa un estado cuántico es el concepto clave que permite relacionar la mecánica cuántica con la física estadística clásica en el límite de transiciones de alta energía ($\hbar \to 0$). A través de las siguientes deducciones basadas en sistemas físicos típicos, se demuestra cómo cada estado cuántico discreto equivale a un volumen elemental $h^{f}$ en el espacio de fases, siendo $f$ el número de grados de libertad del sistema.

Derivación 1: Partícula libre en una caja unidimensional

Caso cuántico

Consideremos una partícula de masa $m$ libre pero confinada en una caja unidimensional de longitud $L$ (un grado de libertad, $f=1$). Su operador hamiltoniano cuántico es:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\quad |\quad {\hat {p}}=-i\hbar \partial _{x}$

La ecuación de autovalores de Schrödinger para este sistema es:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}\psi =E\psi$

Imponiendo las condiciones de contorno de que la función de onda se anule en las paredes ($\psi (0)=\psi (L)=0$), obtenemos las soluciones del tipo:

$\psi _{n}(x)=A\sin(k_{n}x)\quad {\text{con}}\quad k_{n}={\frac {n\pi }{L}}\quad (n=1,2,3,\dots )$

Los autovalores de la energía asociados son:

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}$

Para contar el número de estados cuánticos $N_{cuant}(E)$ con energía menor o igual a $E$ usamos la traza del operador escalón:

$N_{cuant}(E)={\text{Tr}}\,\Theta (E-{\hat {H}})=\sum _{n}\Theta \left(E-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\pi }{L}}\right)^{2}n^{2}\right)$

Para energías macroscópicas muy elevadas ($E\gg 1$), aproximamos el sumatorio discreto mediante una integral continua:

$N_{cuant}(E)\approx \int _{0}^{\infty }dn\,\Theta \left(1-\left({\frac {\hbar \pi }{L}}\right)^{2}{\frac {n^{2}}{2mE}}\right)$

Realizando el cambio de variable adimensional $x={\frac {\hbar \pi n}{L{\sqrt {2mE}}}}\implies dn={\sqrt {2mE}}\left({\frac {L}{\pi \hbar }}\right)dx$, la integral se simplifica a:

$N_{cuant}(E)=\int _{0}^{1}{\sqrt {2mE}}\left({\frac {L}{\pi \hbar }}\right)dx={\frac {L{\sqrt {2mE}}}{\pi \hbar }}={\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{h}}$

donde se ha usado que la constante de Planck clásica es $h=2\pi \hbar$.

Caso clásico

Para el mismo sistema clásico, planteamos el conteo de estados utilizando una constante de normalización fásica $C$ que representa el volumen elemental de un estado:

$N_{clas}(E)=\int {\frac {dx\,dp}{C}}\,\Theta (E-H(x,p))=\int {\frac {dx\,dp}{C}}\,\Theta \left(1-{\frac {p^{2}}{2mE}}\right)$

Dado que la posición de la partícula libre está acotada en $[0,L]$ y el momento en el intervalo $[-{\sqrt {2mE}},{\sqrt {2mE}}]$:

$N_{clas}(E)={\frac {L}{C}}\int _{-{\sqrt {2mE}}}^{\sqrt {2mE}}dp={\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{C}}$

Comparación

Para que la descripción cuántica de la física estadística coincida en el límite clásico con la formulación continua, igualamos ambas expresiones ($N_{cuant}(E)=N_{clas}(E)$):

${\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{h}}={\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{C}}\implies C=h$

Esto demuestra analíticamente que para un sistema con un grado de libertad ($f=1$), cada estado cuántico ocupa un volumen elemental de tamaño $h$ en el espacio de fases.

Derivación 2: Oscilador armónico clásico en $f$ dimensiones

Caso clásico

Consideremos un oscilador armónico en $f$ dimensiones bajo la visión clásica del hamiltoniano:

$H(q,p)=\sum _{k=1}^{f}\left({\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{k}^{2}}{2}}q_{k}^{2}\right)$

El volumen fásico acumulado, denotado clásicamente por ${\tilde {N}}$, es:

${\tilde {N}}=\int dq_{1}\,dp_{1}\dots dq_{f}\,dp_{f}\,\Theta \left(E-\sum _{k=1}^{f}\left({\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{k}^{2}}{2}}q_{k}^{2}\right)\right)$

Realizando los cambios de variable adimensionales:

$\mu _{k}={\sqrt {\frac {\omega _{k}^{2}m}{2E}}}q_{k}\quad {\text{y}}\quad \xi _{k}={\sqrt {\frac {1}{2mE}}}p_{k}\implies dq_{k}\,dp_{k}={\frac {2E}{\omega _{k}}}d\mu _{k}\,d\xi _{k}$

La integral se reduce a:

${\tilde {N}}=\left({\frac {2E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}\int d\mu _{1}\,d\xi _{1}\dots d\mu _{f}\,d\xi _{f}\,\Theta \left(1-\sum _{k=1}^{f}(\mu _{k}^{2}+\xi _{k}^{2})\right)$

donde ${\tilde {\omega }}=\left(\prod _{k=1}^{f}\omega _{k}\right)^{1/f}$ es la media geométrica de las frecuencias. Esta integral representa el hipervolumen de una hiperesfera unitaria de dimensión $2f$, cuyo valor es:

$V_{2f}={\frac {\pi ^{f}}{\Gamma (f+1)}}={\frac {\pi ^{f}}{f!}}$

Sustituyendo este hipervolumen, se obtiene para el volumen fásico clásico:

${\tilde {N}}=\left({\frac {2\pi E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}{\frac {1}{f!}}$

Volumen de un estado en el espacio de fases

Conociendo el número de estados acumulados que predice la física cuántica para un oscilador armónico multidimensional:

$N_{cuant}(E)={\frac {1}{f!}}\left({\frac {E}{\hbar {\tilde {\omega }}}}\right)^{f}$

El volumen que ocupa cada estado cuántico en el espacio de fases clásico se obtiene calculando el cociente entre el volumen fásico clásico acumulado y el número de estados cuántico:

${\frac {\tilde {N}}{N_{cuant}}}=\left({\frac {2\pi E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}\left({\frac {\hbar {\tilde {\omega }}}{E}}\right)^{f}=(2\pi \hbar )^{f}=h^{f}$

donde se ha sustituido la constante reducida de Planck $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$.

Conclusión

Este resultado general demuestra de manera exacta que para cualquier sistema físico de $f$ grados de libertad, cada estado cuántico ocupa un hipervolumen elemental de:

$\delta V_{\Gamma }=h^{f}$

en el espacio de fases.