Función gamma

Definición y conceptos básicos

La función Gamma (o función Gamma de Euler) es una aplicación que generaliza el concepto del factorial a los reales y complejos, y cuya expresión es la siguiente:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

Esta función converge para $\forall z\;|\;{\text{Re.}}\{z\}\geq 0$, y para $\forall z\in \mathbb {R} \;|\;z\notin (-\mathbb {N} )\cup \{0\}$.

Para $n\in \mathbb {N}$ podemos establecer la siguiente relación con el factorial:

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Propiedades

Recursividad

Podemos establecer la relación recursiva análoga a del factorial

$n!=n(n-1)!$

mediante integración por partes

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt=\left[-t^{z}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma (z)$.

Aplicaciones a la solución de problemas

Física Cuántica

En algunos problemas encontraremos integrales al estilo de

$\int dx\;P(x)e^{f(x)}$

donde <math> P(x) <\math> es un polinomio

<math> P(x) = \sum_k a_k x^k <\math>

y <math> f(x) <\math> es de la forma a <math> -\alpha x^n\; | \; \alpha > 0 <\math>. Desarrollando la integral original obtenemos (mediante el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue).

<math> \sum_k a_k \int dx \; x^k e^{\alpha x^n} = \sum_k a_k I_k <\math>

donde podemos realizar el cambio de variable <math> t = \alpha x^n<\math>

<math> I_k = \int \frac{dt}{\alpha nx^{n-1}} x^k e^{-t} = \frac{1}{\alpha n}\int dt\; t^{\frac{k-n-1}{n}} e^{-t} = \frac{\Gamma(\frac{k-1}{n})}{\alpha n} <\math>