Conteo de estados

El conteo de estados en mecánica estadística es el proceso de determinar el número de estados cuánticos discretos o el volumen fásico clásico disponible para un sistema bajo ciertas restricciones macroscópicas. Es un paso fundamental para conectar la mecánica microscópica con la termodinámica macroscópica.

Caso cuántico

En mecánica cuántica, para un sistema confinado, el hamiltoniano ${\hat {H}}$ posee un espectro de energías discreto $E_{n}$ con degeneración $g_{n}$ para cada nivel.

Número acumulado de estados

Representa el número total de estados cuánticos con energías menores o iguales a :

donde es la función escalón de Heaviside.

Densidad de estados

Representa el número de estados cuánticos por unidad de energía a la energía . Se define formalmente como la derivada del número acumulado de estados respecto a la energía:

donde es la delta de Dirac, que surge al derivar la función escalón.

Caso clásico

En el límite clásico (), el estado microscópico de un sistema clásico con grados de libertad es continuo y está representado en el espacio de fases. El conteo de estados requiere discretizar el espacio de fases utilizando el cuanto fundamental de volumen fásico por grado de libertad, que es la constante de Planck .

Para un sistema con grados de libertad y partículas idénticas:

• Número clásico de estados acumulados:

• Densidad clásica de estados:

donde es el elemento de volumen diferencial y el factor se introduce para corregir el conteo redundante debido a la indistinguibilidad de las partículas idénticas (resolviendo así la paradoja de Gibbs).

Límite termodinámico

Para sistemas macroscópicos con un número muy elevado de partículas (), el número de estados y la densidad de estados crecen extremadamente rápido con la energía (como potencias muy altas, por ejemplo, del orden de ). En este límite, conocido como el límite termodinámico, se cumple que:

Es decir, las diferencias entre el número acumulado de estados y la densidad de estados se vuelven cuantitativamente irrelevantes a efectos termodinámicos, de manera que es indistinto trabajar con cualquiera de ellas.