Volumen fásico de un estado cuántico

El volumen fásico que ocupa un estado cuántico es un concepto puente fundamental que permite relacionar la mecánica estadística clásica con la mecánica estadística cuántica. Establece cómo el espacio de fases continuo clásico es discretizado por la naturaleza discreta de los estados cuánticos debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, asignando un volumen elemental a cada estado cuántico igual a $h^{f}$, donde $h$ es la constante de Planck y $f$ es el número de grados de libertad del sistema.

Origen físico: Relación de incertidumbre

En mecánica cuántica, las coordenadas $q_{i}$ y sus momentos conjugados $p_{i}$ no pueden determinarse simultáneamente con precisión arbitraria debido al principio de incertidumbre de Heisenberg:

$\Delta q_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Esta indeterminación física implica que en el espacio de fases clásico no tiene sentido hablar de puntos con dimensiones nulas. En su lugar, el espacio de fases se discretiza en celdas elementales de volumen fásico finito. La física estadística asocia cada uno de los estados cuánticos discretos con una de estas celdas en el espacio de fases clásico.

Conexión histórica: Regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld

Antes del desarrollo de la mecánica cuántica moderna, la teoría cuántica antigua utilizaba la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld para determinar los niveles de energía permitidos de un sistema periódico con coordenadas $q$ y momentos $p$:

$\oint p\,dq=nh\quad {\text{con }}n=1,2,3,\dots$

Geométricamente, la integral $\oint p\,dq$ representa el área (o volumen fásico para un grado de libertad, $f=1$) encerrada por la trayectoria cerrada del sistema en el espacio de fases para el estado cuántico $n$.

Esta regla implica que las órbitas permitidas en el espacio de fases encierran áreas que son múltiplos enteros de la constante de Planck $h$. El área fásica comprendida entre la órbita $n$ y la órbita inmediatamente anterior $n-1$ es exactamente:

$\Delta A=\oint p_{n}\,dq-\oint p_{n-1}\,dq=nh-(n-1)h=h$

Este resultado constituyó la primera indicación histórica de que cada estado cuántico individual ocupa un área (volumen fásico elemental) igual a la constante de Planck $h$ en el espacio de fases de dos dimensiones.

Derivaciones del volumen por estado ($h^{f}$)

Ejemplo 1: Partícula libre en una caja unidimensional

Consideremos una partícula de masa $m$ libre pero confinada en una caja unidimensional de longitud $L$ (un grado de libertad, $f=1$).

• Caso cuántico: Resolviendo la ecuación de Schrödinger con condiciones de contorno de pozo infinito se obtienen los niveles de energía:

1. $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}\quad {\text{con }}n=1,2,3,\dots$

   Para energías macroscópicas elevadas ($n\gg 1$), el número acumulado de estados con energía menor o igual a $E$ es:

   $N(E)\approx {\frac {L{\sqrt {2mE}}}{\pi \hbar }}={\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{h}}$

   donde $h=2\pi \hbar$.

• Caso clásico: El volumen del espacio de fases (un área en este caso de 2D fásico) encerrado por el contorno de energía $E$ es:

1. $\Phi (E)=\int _{0}^{L}dx\int _{-{\sqrt {2mE}}}^{\sqrt {2mE}}dp=L\cdot \left[2{\sqrt {2mE}}\right]=2L{\sqrt {2mE}}$

• Comparación: Dividiendo el volumen clásico de fases entre el número de estados cuánticos acumulados:

1. ${\frac {\Phi (E)}{N(E)}}={\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{\frac {2L{\sqrt {2mE}}}{h}}}=h$

   Esto demuestra que para un grado de libertad ($f=1$), cada estado cuántico ocupa un volumen elemental de $h$ en el espacio de fases.

Ejemplo 2: Oscilador armónico multidimensional en $f$ dimensiones

Para un oscilador armónico cuántico en $f$ dimensiones con frecuencias generalizadas $\omega _{k}$, el número de estados cuánticos acumulados para energías elevadas viene dado por la expresión:

$N(E)={\frac {1}{f!}}\left({\frac {E}{\hbar {\tilde {\omega }}}}\right)^{f}$

donde ${\tilde {\omega }}=\left(\prod _{k=1}^{f}\omega _{k}\right)^{1/f}$.

Clásicamente, el volumen de fases de este mismo sistema (hipervolumen de dimensión $2f$) es:

$\Phi (E)=\left({\frac {2\pi E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}{\frac {1}{f!}}$

Dividiendo el volumen clásico de fases entre el número cuántico de estados:

${\frac {\Phi (E)}{N(E)}}=\left({\frac {2\pi E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}\left({\frac {\hbar {\tilde {\omega }}}{E}}\right)^{f}=(2\pi \hbar )^{f}=h^{f}$

Trascendencia en la física estadística

Este resultado, generalizable a cualquier sistema físico de $f$ grados de libertad, establece que la celda elemental del espacio de fases que corresponde a un único estado cuántico tiene un volumen de:

$\delta V_{\Gamma }=h^{f}$

Esto proporciona una justificación física fundamental para:

1. Definición de la traza clásica: Al pasar del caso cuántico al límite clásico, el operador traza se transforma en una integral sobre el espacio de fases discretizado:

   ${\text{Tr}}(\dots )\longrightarrow {\frac {1}{N!h^{f}}}\int (\dots )\,d\Gamma$

2. Dimensionalidad de la función de partición: La presencia de $h^{f}$ en el denominador de la integral del espacio de fases clásico cancela la dimensión física del elemento de volumen $d\Gamma$ (el cual tiene unidades de $({\text{acción}})^{f}$), garantizando que la función de partición clásica ${\mathcal {Z}}_{cla}$ sea una magnitud adimensional pura, coherente con su contrapartida cuántica.
3. Definición absoluta de la entropía: En física estadística clásica, la entropía clásica sólo estaba definida salvo una constante aditiva arbitraria (debido a la arbitrariedad en la escala de volumen fásico). El cuanto de volumen $h^{f}$ establece un origen absoluto para la entropía, permitiendo resolver la paradoja de Gibbs de forma natural y ser coherente con el tercer principio de la termodinámica.