Volumen de fases

En física clásica y mecánica estadística, el volumen de fases (o volumen fásico), denotado comúnmente por $\Phi (E)$, representa el hipervolumen de la región del espacio de fases cuyos estados microscópicos tienen una energía menor o igual que un valor dado $E$.

Definición matemática

Para un sistema físico clásico con $f$ grados de libertad, el estado del sistema en un instante dado queda determinado por sus coordenadas generalizadas $q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f})$ y sus momentos conjugados $p=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{f})$. El espacio de fases es un espacio continuo de $2f$ dimensiones.

El volumen de fases $\Phi (E)$ se define mediante la integral sobre todo el espacio de fases restringida por la función hamiltoniana clásica del sistema $H(q,p)\leq E$:

$\Phi (E)=\int _{H(q,p)\leq E}dq_{1}dp_{1}\dots dq_{f}dp_{f}=\int \Theta (E-H(q,p))\,dq_{1}dp_{1}\dots dq_{f}dp_{f}$

donde $\Theta (x)$ es la función escalón de Heaviside.

Relación con el número y la densidad de estados

El volumen fásico es una función monótonamente creciente de la energía. A partir de él se pueden definir dos magnitudes fundamentales para la estadística clásica:

1. Densidad de estados ($\sigma (E)$): Representa el número de estados por unidad de energía en la superficie de energía constante $E$. Se obtiene como la derivada del volumen de fases respecto a la energía:

   $\sigma (E)={\frac {d\Phi (E)}{dE}}=\int \delta (E-H(q,p))\,dq_{1}dp_{1}\dots dq_{f}dp_{f}$

   donde $\delta (x)$ es la delta de Dirac.

2. Número de estados en una corteza de energía ($\Omega (E)$): Si se considera una corteza de energía de ancho $\Delta E$ (donde $\Delta E\ll E$), el número de estados microscópicos contenidos en ella en el límite clásico viene dado por:

   $\Omega (E)\approx \sigma (E)\Delta E$

Ejemplo: Oscilador armónico clásico en $f$ dimensiones

Consideremos un oscilador armónico clásico en $f$ dimensiones con hamiltoniano:

$H(q,p)=\sum _{k=1}^{f}\left({\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{k}^{2}}{2}}q_{k}^{2}\right)$

El volumen fásico $\Phi (E)$ es:

$\Phi (E)=\int \dots \int \Theta \left(E-\sum _{k=1}^{f}\left({\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{k}^{2}}{2}}q_{k}^{2}\right)\right)dq_{1}dp_{1}\dots dq_{f}dp_{f}$

Realizando los siguientes cambios de variable adimensionales:

$\mu _{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}^{2}}{2E}}}q_{k}\quad {\text{y}}\quad \xi _{k}={\sqrt {\frac {1}{2mE}}}p_{k}$

El diferencial de volumen se transforma en:

$dq_{k}dp_{k}={\frac {2E}{\omega _{k}}}d\mu _{k}d\xi _{k}$

Sustituyendo estos cambios, la integral se reduce a:

$\Phi (E)=\left({\frac {2E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}\int \dots \int \Theta \left(1-\sum _{k=1}^{f}(\mu _{k}^{2}+\xi _{k}^{2})\right)d\mu _{1}d\xi _{1}\dots d\mu _{f}d\xi _{f}$

donde ${\tilde {\omega }}=\left(\prod _{k=1}^{f}\omega _{k}\right)^{1/f}$ es la media geométrica de las frecuencias. Esta integral representa el hipervolumen de una hiperesfera unitaria de dimensión $2f$, cuyo valor es:

$V_{2f}={\frac {\pi ^{f}}{\Gamma (f+1)}}={\frac {\pi ^{f}}{f!}}$

Por lo tanto, obtenemos finalmente la expresión para el volumen fásico de un oscilador armónico multidimensional clásico:

$\Phi (E)=\left({\frac {2\pi E}{\tilde {\omega }}}\right)^{f}{\frac {1}{f!}}$