Volumen de fases

El volumen de fases (o volumen fásico), usualmente denotado por $\Phi (E)$, es un concepto fundamental en mecánica clásica, mecánica hamiltoniana y mecánica estadística. Representa el hipervolumen de la región del espacio de fases que comprende todos los estados microscópicos cuya energía total es menor o igual a un valor dado $E$.

Definición geométrica y matemática

En la descripción clásica de un sistema físico con $N$ partículas en $d$ dimensiones, el sistema posee $f=Nd$ grados de libertad. El estado instantáneo del sistema está completamente caracterizado por un punto $\Gamma$ en un espacio continuo de $2f$ dimensiones, llamado espacio de fases. Las coordenadas de este espacio son:

• Las coordenadas generalizadas: $q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f})$
• Los momentos conjugados: $p=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{f})$

El volumen fásico acumulado $\Phi (E)$ es el volumen de la región encerrada por la superficie de energía constante $H(q,p)=E$ (donde $H$ es el hamiltoniano clásico del sistema). Se define matemáticamente como:

$\Phi (E)=\int _{H(q,p)\leq E}dq_{1}\dots dq_{f}\,dp_{1}\dots dp_{f}=\int \Theta (E-H(q,p))\,d\Gamma$

donde:

• $d\Gamma =d^{f}q\,d^{f}p=dq_{1}\dots dq_{f}\,dp_{1}\dots dp_{f}$ es el elemento de volumen diferencial en el espacio de fases.
• $\Theta (x)$ es la función escalón de Heaviside, que toma el valor $1$ si $x\geq 0$ y $0$ si $x<0$.

Propiedades fundamentales

1. Monotonicidad: Dado que la función hamiltoniana es acotada inferiormente para sistemas físicos reales y $\Theta$ es una función no decreciente, el volumen de fases $\Phi (E)$ es una función estrictamente creciente de la energía $E$ (para energías por encima del estado fundamental).
2. Dimensión física: Las variables $q_{i}$ y $p_{i}$ son conjugadas, por lo que su producto $q_{i}p_{i}$ tiene dimensiones de acción física (energía $\times$ tiempo, o ${\text{J}}\cdot {\text{s}}$ en el SI). Así, el volumen fásico $\Phi$ tiene dimensiones de $({\text{acción}})^{f}$.

Conservación del volumen de fases: Teorema de Liouville

Una de las propiedades más notables del volumen fásico clásico es su comportamiento bajo la evolución temporal del sistema. De acuerdo con el Teorema de Liouville, si consideramos un conjunto de sistemas cuyas condiciones iniciales ocupan una región de volumen fásico $\Phi _{0}$ en $t=0$, el volumen ocupado por estos sistemas a lo largo de su trayectoria temporal se conserva de forma exacta:

${\frac {d\Phi (t)}{dt}}=0$

Esto significa que, aunque la forma geométrica de la región en el espacio de fases se deforme o estire drásticamente (un fenómeno conocido como mixing o mezclado fásico), el volumen total encerrado permanece estrictamente constante. Físicamente, el flujo de los puntos representativos en el espacio de fases se comporta como un fluido incompresible, cuya divergencia es nula:

$\nabla \cdot {\vec {v}}_{\Gamma }=\sum _{i=1}^{f}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{f}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0$

Relación con la densidad de estados y colectividades

A partir del volumen fásico acumulado $\Phi (E)$, se derivan directamente otras cantidades claves del equilibrio estadístico:

Densidad de estados

La densidad de estados $\sigma (E)$ representa la cantidad de microestados disponibles por unidad de energía a una energía exacta $E$. Se define como la derivada del volumen fásico respecto a la energía:

$\sigma (E)={\frac {d\Phi (E)}{dE}}=\int \delta (E-H(q,p))\,d\Gamma$

donde $\delta (x)$ es la delta de Dirac.

Colectivo Microcanónico

En el colectivo microcanónico, que describe sistemas aislados con una energía comprendida en una corteza fina $[E,E+\Delta E]$, el número de estados microscópicos clásica $\Omega (E)$ corresponde a la porción del volumen fásico contenida en dicha corteza:

$\Omega (E)=\Phi (E+\Delta E)-\Phi (E)\approx \sigma (E)\Delta E$

Derivaciones en sistemas físicos típicos

1. Gas ideal clásico de partículas idénticas

Consideremos un gas ideal clásico compuesto por $N$ partículas sin estructura interna contenidas en un volumen espacial $V$. El hamiltoniano del sistema es puramente cinético:

$H(q,p)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}}{2m}}=\sum _{j=1}^{3N}{\frac {p_{j}^{2}}{2m}}$

El número de grados de libertad es $f=3N$. El volumen de fases viene dado por:

$\Phi (E)=\int _{V}d^{3}r_{1}\dots d^{3}r_{N}\int _{\sum p_{j}^{2}\leq 2mE}d^{3N}p$

La integración espacial sobre las coordenadas de las partículas es inmediata y da como resultado $V^{N}$. La integral sobre los momentos representa el volumen de una hiperesfera de dimensión $3N$ y radio $R={\sqrt {2mE}}$. Usando la fórmula general del volumen de una hiperesfera unitaria de dimensión $D$, $V_{D}(R)={\frac {\pi ^{D/2}}{\Gamma (D/2+1)}}R^{D}$, obtenemos:

$\Phi (E)=V^{N}{\frac {(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma \left({\frac {3N}{2}}+1\right)}}$

Si las partículas son indistinguibles, debemos introducir el factor corrector de Gibbs $1/N!$:

$\Phi (E)={\frac {V^{N}}{N!}}{\frac {(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma \left({\frac {3N}{2}}+1\right)}}$

2. Oscilador armónico en dimensiones

Para un oscilador armónico clásico multidimensional con hamiltoniano:

El volumen fásico se calcula transformando a variables adimensionales:

Lo que reduce el problema a calcular el volumen de una hiperesfera -dimensional de radio unitario:

donde . Así, el volumen fásico es:

Discretización y conexión cuántica

Clásicamente, el volumen fásico es una variable continua y puede subdividirse indefinidamente. Sin embargo, la mecánica cuántica impone una limitación física fundamental mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg, estableciendo que el volumen fásico mínimo que puede ser asociado a un estado físico cuántico es , donde es la constante de Planck.

Esto permite discretizar el espacio de fases clásico definiendo el número de estados acumulados adimensional mediante:

(o bien para partículas indistinguibles), sirviendo como la conexión teórica formal entre las formulaciones estadísticas clásica y cuántica.

Física Estadística — Conceptos Clave

• Volumen de fases  • Colectivo microcanónico  • Colectivo canónico  • Conteo de estados  • Función de partición  • Volumen fásico de un estado cuántico